सोडोवचें {l}{-3x+y=-7}{3x+2y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + y = - 7 } \\ { 3 x + 2 y = 4 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=2$$

$$y=-1$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$-3x+y=-7,3x+2y=4$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$-3x+y=-7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$-3x=-y-7$$

दोनुय कुशींक -3 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-y-7\right)$$

-y-7क -\frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{7}{3}$$

3x+2y=4 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{7+y}{3} बदलपी घेवचो.

$$3\left(\frac{1}{3}y+\frac{7}{3}\right)+2y=4$$

\frac{7+y}{3}क 3 फावटी गुणचें.

$$y+7+2y=4$$

2y कडेन y ची बेरीज करची.

$$3y+7=4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 7 वजा करचें.

$$3y=-3$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$y=-1$$

x=\frac{1}{3}y+\frac{7}{3} त y खातीर -1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{7}{3}$$

-1क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-1+7}{3}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{1}{3} क \frac{7}{3} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=2,y=-1$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$-3x+y=-7,3x+2y=4$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}-3&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-3&1\\3&2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\4\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-3\times 2-3}&-\frac{1}{-3\times 2-3}\\-\frac{3}{-3\times 2-3}&-\frac{3}{-3\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\4\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{9}\left(-7\right)+\frac{1}{9}\times 4\\\frac{1}{3}\left(-7\right)+\frac{1}{3}\times 4\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=2,y=-1$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$-3x+y=-7,3x+2y=4$$

-3x आनी 3x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -3 न गुणचें.

$$3\left(-3\right)x+3y=3\left(-7\right),-3\times 3x-3\times 2y=-3\times 4$$

सोंपें करचें.

$$-9x+3y=-21,-9x-6y=-12$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -9x+3y=-21 तल्यान -9x-6y=-12 वजा करचो.

$$-9x+9x+3y+6y=-21+12$$

9x कडेन -9x ची बेरीज करची. अटी -9x आनी 9x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$3y+6y=-21+12$$

6y कडेन 3y ची बेरीज करची.

$$9y=-21+12$$

12 कडेन -21 ची बेरीज करची.

$$9y=-9$$

दोनुय कुशींक 9 न भाग लावचो.

$$y=-1$$

3x+2y=4 त y खातीर -1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3x+2\left(-1\right)=4$$

-1क 2 फावटी गुणचें.

$$3x-2=4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2 ची बेरीज करची.

$$3x=6$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=2,y=-1$$