सोडोवचें {l}{-3x+9y=27}{-5x-8y=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + 9 y = 27 } \\ { - 5 x - 8 y = - 1 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-3$$

$$y=2$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$-3x+9y=27,-5x-8y=-1$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$-3x+9y=27$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 9y वजा करचें.

$$-3x=-9y+27$$

दोनुय कुशींक -3 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-9y+27\right)$$

-9y+27क -\frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$x=3y-9$$

-5x-8y=-1 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -9+3y बदलपी घेवचो.

$$-5\left(3y-9\right)-8y=-1$$

-9+3yक -5 फावटी गुणचें.

$$-15y+45-8y=-1$$

-8y कडेन -15y ची बेरीज करची.

$$-23y+45=-1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 45 वजा करचें.

$$-23y=-46$$

दोनुय कुशींक -23 न भाग लावचो.

$$y=2$$

x=3y-9 त y खातीर 2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=3\times 2-9$$

2क 3 फावटी गुणचें.

$$x=6-9$$

6 कडेन -9 ची बेरीज करची.

$$x=-3$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-3,y=2$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$-3x+9y=27,-5x-8y=-1$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}-3&9\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-3&9\\-5&-8\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&9\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&9\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&9\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&9\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-1\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&9\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-3\left(-8\right)-9\left(-5\right)}&-\frac{9}{-3\left(-8\right)-9\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{-3\left(-8\right)-9\left(-5\right)}&-\frac{3}{-3\left(-8\right)-9\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\-1\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{69}&-\frac{3}{23}\\\frac{5}{69}&-\frac{1}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{69}\times 27-\frac{3}{23}\left(-1\right)\\\frac{5}{69}\times 27-\frac{1}{23}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-3,y=2$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$-3x+9y=27,-5x-8y=-1$$

-3x आनी -5x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -5 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -3 न गुणचें.

$$-5\left(-3\right)x-5\times 9y=-5\times 27,-3\left(-5\right)x-3\left(-8\right)y=-3\left(-1\right)$$

सोंपें करचें.

$$15x-45y=-135,15x+24y=3$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 15x-45y=-135 तल्यान 15x+24y=3 वजा करचो.

$$15x-15x-45y-24y=-135-3$$

-15x कडेन 15x ची बेरीज करची. अटी 15x आनी -15x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-45y-24y=-135-3$$

-24y कडेन -45y ची बेरीज करची.

$$-69y=-135-3$$

-3 कडेन -135 ची बेरीज करची.

$$-69y=-138$$

दोनुय कुशींक -69 न भाग लावचो.

$$y=2$$

-5x-8y=-1 त y खातीर 2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-5x-8\times 2=-1$$

2क -8 फावटी गुणचें.

$$-5x-16=-1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 16 ची बेरीज करची.

$$-5x=15$$

दोनुय कुशींक -5 न भाग लावचो.

$$x=-3$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-3,y=2$$