सोडोवचें {l}{-3x+15y=59}{3x+4y=17}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + 15 y = 59 } \\ { 3 x + 4 y = 17 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y=4$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$-3x+15y=59,3x+4y=17$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$-3x+15y=59$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 15y वजा करचें.

$$-3x=-15y+59$$

दोनुय कुशींक -3 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-15y+59\right)$$

-15y+59क -\frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$x=5y-\frac{59}{3}$$

3x+4y=17 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर 5y-\frac{59}{3} बदलपी घेवचो.

$$3\left(5y-\frac{59}{3}\right)+4y=17$$

5y-\frac{59}{3}क 3 फावटी गुणचें.

$$15y-59+4y=17$$

4y कडेन 15y ची बेरीज करची.

$$19y-59=17$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 59 ची बेरीज करची.

$$19y=76$$

दोनुय कुशींक 19 न भाग लावचो.

$$y=4$$

x=5y-\frac{59}{3} त y खातीर 4 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=5\times 4-\frac{59}{3}$$

4क 5 फावटी गुणचें.

$$x=20-\frac{59}{3}$$

20 कडेन -\frac{59}{3} ची बेरीज करची.

$$x=\frac{1}{3}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{1}{3},y=4$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$-3x+15y=59,3x+4y=17$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-3\times 4-15\times 3}&-\frac{15}{-3\times 4-15\times 3}\\-\frac{3}{-3\times 4-15\times 3}&-\frac{3}{-3\times 4-15\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{57}&\frac{5}{19}\\\frac{1}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{57}\times 59+\frac{5}{19}\times 17\\\frac{1}{19}\times 59+\frac{1}{19}\times 17\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{1}{3},y=4$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$-3x+15y=59,3x+4y=17$$

-3x आनी 3x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -3 न गुणचें.

$$3\left(-3\right)x+3\times 15y=3\times 59,-3\times 3x-3\times 4y=-3\times 17$$

सोंपें करचें.

$$-9x+45y=177,-9x-12y=-51$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -9x+45y=177 तल्यान -9x-12y=-51 वजा करचो.

$$-9x+9x+45y+12y=177+51$$

9x कडेन -9x ची बेरीज करची. अटी -9x आनी 9x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$45y+12y=177+51$$

12y कडेन 45y ची बेरीज करची.

$$57y=177+51$$

51 कडेन 177 ची बेरीज करची.

$$57y=228$$

दोनुय कुशींक 57 न भाग लावचो.

$$y=4$$

3x+4y=17 त y खातीर 4 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3x+4\times 4=17$$

4क 4 फावटी गुणचें.

$$3x+16=17$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 16 वजा करचें.

$$3x=1$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{3}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{1}{3},y=4$$