सोडोवचें {l}{-2x-2y=4}{4x-6y=-8}

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x - 2 y = 4 } \\ { 4 x - 6 y = - 8 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-2$$

$$y=0$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$-2x-2y=4,4x-6y=-8$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$-2x-2y=4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2y ची बेरीज करची.

$$-2x=2y+4$$

दोनुय कुशींक -2 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{1}{2}\left(2y+4\right)$$

4+2yक -\frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-y-2$$

4x-6y=-8 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -y-2 बदलपी घेवचो.

$$4\left(-y-2\right)-6y=-8$$

-y-2क 4 फावटी गुणचें.

$$-4y-8-6y=-8$$

-6y कडेन -4y ची बेरीज करची.

$$-10y-8=-8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 8 ची बेरीज करची.

$$-10y=0$$

दोनुय कुशींक -10 न भाग लावचो.

$$y=0$$

x=-y-2 त y खातीर 0 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-2,y=0$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$-2x-2y=4,4x-6y=-8$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}-2&-2\\4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-2&-2\\4&-6\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-2\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-2\\4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-2\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-2\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-2\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-2\left(-6\right)-\left(-2\times 4\right)}&-\frac{-2}{-2\left(-6\right)-\left(-2\times 4\right)}\\-\frac{4}{-2\left(-6\right)-\left(-2\times 4\right)}&-\frac{2}{-2\left(-6\right)-\left(-2\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}\times 4+\frac{1}{10}\left(-8\right)\\-\frac{1}{5}\times 4-\frac{1}{10}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-2,y=0$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$-2x-2y=4,4x-6y=-8$$

-2x आनी 4x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -2 न गुणचें.

$$4\left(-2\right)x+4\left(-2\right)y=4\times 4,-2\times 4x-2\left(-6\right)y=-2\left(-8\right)$$

सोंपें करचें.

$$-8x-8y=16,-8x+12y=16$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -8x-8y=16 तल्यान -8x+12y=16 वजा करचो.

$$-8x+8x-8y-12y=16-16$$

8x कडेन -8x ची बेरीज करची. अटी -8x आनी 8x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-8y-12y=16-16$$

-12y कडेन -8y ची बेरीज करची.

$$-20y=16-16$$

-16 कडेन 16 ची बेरीज करची.

$$-20y=0$$

दोनुय कुशींक -20 न भाग लावचो.

$$y=0$$

4x-6y=-8 त y खातीर 0 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$4x=-8$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x=-2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-2,y=0$$