सोडोवचें {l}{-2x+7y=4}{-4x+3y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + 7 y = 4 } \\ { - 4 x + 3 y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-\frac{1}{11}\approx -0.090909091$$

$$y=\frac{6}{11}\approx 0.545454545$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$-2x+7y=4,-4x+3y=2$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$-2x+7y=4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 7y वजा करचें.

$$-2x=-7y+4$$

दोनुय कुशींक -2 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-7y+4\right)$$

-7y+4क -\frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{7}{2}y-2$$

-4x+3y=2 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{7y}{2}-2 बदलपी घेवचो.

$$-4\left(\frac{7}{2}y-2\right)+3y=2$$

\frac{7y}{2}-2क -4 फावटी गुणचें.

$$-14y+8+3y=2$$

3y कडेन -14y ची बेरीज करची.

$$-11y+8=2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 8 वजा करचें.

$$-11y=-6$$

दोनुय कुशींक -11 न भाग लावचो.

$$y=\frac{6}{11}$$

x=\frac{7}{2}y-2 त y खातीर \frac{6}{11} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{7}{2}\times \frac{6}{11}-2$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{6}{11} क \frac{7}{2} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{21}{11}-2$$

\frac{21}{11} कडेन -2 ची बेरीज करची.

$$x=-\frac{1}{11}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{1}{11},y=\frac{6}{11}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$-2x+7y=4,-4x+3y=2$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-2\times 3-7\left(-4\right)}&-\frac{7}{-2\times 3-7\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{-2\times 3-7\left(-4\right)}&-\frac{2}{-2\times 3-7\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}&-\frac{7}{22}\\\frac{2}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}\times 4-\frac{7}{22}\times 2\\\frac{2}{11}\times 4-\frac{1}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}\\\frac{6}{11}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-\frac{1}{11},y=\frac{6}{11}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$-2x+7y=4,-4x+3y=2$$

-2x आनी -4x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -4 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -2 न गुणचें.

$$-4\left(-2\right)x-4\times 7y=-4\times 4,-2\left(-4\right)x-2\times 3y=-2\times 2$$

सोंपें करचें.

$$8x-28y=-16,8x-6y=-4$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 8x-28y=-16 तल्यान 8x-6y=-4 वजा करचो.

$$8x-8x-28y+6y=-16+4$$

-8x कडेन 8x ची बेरीज करची. अटी 8x आनी -8x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-28y+6y=-16+4$$

6y कडेन -28y ची बेरीज करची.

$$-22y=-16+4$$

4 कडेन -16 ची बेरीज करची.

$$-22y=-12$$

दोनुय कुशींक -22 न भाग लावचो.

$$y=\frac{6}{11}$$

-4x+3y=2 त y खातीर \frac{6}{11} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-4x+3\times \frac{6}{11}=2$$

\frac{6}{11}क 3 फावटी गुणचें.

$$-4x+\frac{18}{11}=2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{18}{11} वजा करचें.

$$-4x=\frac{4}{11}$$

दोनुय कुशींक -4 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{1}{11}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{1}{11},y=\frac{6}{11}$$