सोडोवचें {l}{-2x+4y=14}{x-4y=-7}

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + 4 y = 14 } \\ { x - 4 y = - 7 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-7$$

$$y=0$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$-2x+4y=14,x-4y=-7$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$-2x+4y=14$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4y वजा करचें.

$$-2x=-4y+14$$

दोनुय कुशींक -2 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-4y+14\right)$$

-4y+14क -\frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=2y-7$$

x-4y=-7 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर 2y-7 बदलपी घेवचो.

$$2y-7-4y=-7$$

-4y कडेन 2y ची बेरीज करची.

$$-2y-7=-7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 7 ची बेरीज करची.

$$-2y=0$$

दोनुय कुशींक -2 न भाग लावचो.

$$y=0$$

x=2y-7 त y खातीर 0 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-7$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-7,y=0$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$-2x+4y=14,x-4y=-7$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-4\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-7\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-2\left(-4\right)-4}&-\frac{4}{-2\left(-4\right)-4}\\-\frac{1}{-2\left(-4\right)-4}&-\frac{2}{-2\left(-4\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-7\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-1\\-\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14-\left(-7\right)\\-\frac{1}{4}\times 14-\frac{1}{2}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-7,y=0$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$-2x+4y=14,x-4y=-7$$

-2x आनी x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -2 न गुणचें.

$$-2x+4y=14,-2x-2\left(-4\right)y=-2\left(-7\right)$$

सोंपें करचें.

$$-2x+4y=14,-2x+8y=14$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -2x+4y=14 तल्यान -2x+8y=14 वजा करचो.

$$-2x+2x+4y-8y=14-14$$

2x कडेन -2x ची बेरीज करची. अटी -2x आनी 2x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$4y-8y=14-14$$

-8y कडेन 4y ची बेरीज करची.

$$-4y=14-14$$

-14 कडेन 14 ची बेरीज करची.

$$-4y=0$$

दोनुय कुशींक -4 न भाग लावचो.

$$y=0$$

x-4y=-7 त y खातीर 0 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-7$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-7,y=0$$