सोडोवचें {l}{-15B-3A=-14}{-5A+B=7}

$$\left. \begin{array} { l } { - 15 B - 3 A = - 14 } \\ { - 5 A + B = 7 } \end{array} \right.$$

B, A खातीर सोडोवचें

$$B = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} \approx 1.166666667$$

$$A = -\frac{7}{6} = -1\frac{1}{6} \approx -1.166666667$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$-15B-3A=-14,B-5A=7$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक B वेगळावन B खातीर तें सोडोवचें.

$$-15B-3A=-14$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3A ची बेरीज करची.

$$-15B=3A-14$$

दोनुय कुशींक -15 न भाग लावचो.

$$B=-\frac{1}{15}\left(3A-14\right)$$

3A-14क -\frac{1}{15} फावटी गुणचें.

$$B=-\frac{1}{5}A+\frac{14}{15}$$

B-5A=7 ह्या दुस-या समिकरणांत B खातीर -\frac{A}{5}+\frac{14}{15} बदलपी घेवचो.

$$-\frac{1}{5}A+\frac{14}{15}-5A=7$$

-5A कडेन -\frac{A}{5} ची बेरीज करची.

$$-\frac{26}{5}A+\frac{14}{15}=7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{14}{15} वजा करचें.

$$-\frac{26}{5}A=\frac{91}{15}$$

-\frac{26}{5} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$A=-\frac{7}{6}$$

B=-\frac{1}{5}A+\frac{14}{15} त A खातीर -\frac{7}{6} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी B खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$B=-\frac{1}{5}\left(-\frac{7}{6}\right)+\frac{14}{15}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून -\frac{7}{6} क -\frac{1}{5} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$B=\frac{7}{30}+\frac{14}{15}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{7}{30} क \frac{14}{15} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$B=\frac{7}{6}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$B=\frac{7}{6},A=-\frac{7}{6}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$-15B-3A=-14,B-5A=7$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-15\left(-5\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-15\left(-5\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-15\left(-5\right)-\left(-3\right)}&-\frac{15}{-15\left(-5\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{78}&\frac{1}{26}\\-\frac{1}{78}&-\frac{5}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{78}\left(-14\right)+\frac{1}{26}\times 7\\-\frac{1}{78}\left(-14\right)-\frac{5}{26}\times 7\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{6}\\-\frac{7}{6}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां B आनी A काडचीं.

$$B=\frac{7}{6},A=-\frac{7}{6}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$-15B-3A=-14,B-5A=7$$

-15B आनी B बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -15 न गुणचें.

$$-15B-3A=-14,-15B-15\left(-5\right)A=-15\times 7$$

सोंपें करचें.

$$-15B-3A=-14,-15B+75A=-105$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -15B-3A=-14 तल्यान -15B+75A=-105 वजा करचो.

$$-15B+15B-3A-75A=-14+105$$

15B कडेन -15B ची बेरीज करची. अटी -15B आनी 15B रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-3A-75A=-14+105$$

-75A कडेन -3A ची बेरीज करची.

$$-78A=-14+105$$

105 कडेन -14 ची बेरीज करची.

$$-78A=91$$

दोनुय कुशींक -78 न भाग लावचो.

$$A=-\frac{7}{6}$$

B-5A=7 त A खातीर -\frac{7}{6} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी B खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$B-5\left(-\frac{7}{6}\right)=7$$

-\frac{7}{6}क -5 फावटी गुणचें.

$$B+\frac{35}{6}=7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{35}{6} वजा करचें.

$$B=\frac{7}{6}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$B=\frac{7}{6},A=-\frac{7}{6}$$