सोडोवचें {l}{-15A+3B=21}{-15B-3A=-14}

$$\left. \begin{array} { l } { - 15 A + 3 B = 21 } \\ { - 15 B - 3 A = - 14 } \end{array} \right.$$

A, B खातीर सोडोवचें

$$A = -\frac{7}{6} = -1\frac{1}{6} \approx -1.166666667$$

$$B = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} \approx 1.166666667$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$-15A+3B=21,-3A-15B=-14$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक A वेगळावन A खातीर तें सोडोवचें.

$$-15A+3B=21$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3B वजा करचें.

$$-15A=-3B+21$$

दोनुय कुशींक -15 न भाग लावचो.

$$A=-\frac{1}{15}\left(-3B+21\right)$$

-3B+21क -\frac{1}{15} फावटी गुणचें.

$$A=\frac{1}{5}B-\frac{7}{5}$$

-3A-15B=-14 ह्या दुस-या समिकरणांत A खातीर \frac{-7+B}{5} बदलपी घेवचो.

$$-3\left(\frac{1}{5}B-\frac{7}{5}\right)-15B=-14$$

\frac{-7+B}{5}क -3 फावटी गुणचें.

$$-\frac{3}{5}B+\frac{21}{5}-15B=-14$$

-15B कडेन -\frac{3B}{5} ची बेरीज करची.

$$-\frac{78}{5}B+\frac{21}{5}=-14$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{21}{5} वजा करचें.

$$-\frac{78}{5}B=-\frac{91}{5}$$

-\frac{78}{5} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$B=\frac{7}{6}$$

A=\frac{1}{5}B-\frac{7}{5} त B खातीर \frac{7}{6} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी A खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$A=\frac{1}{5}\times \frac{7}{6}-\frac{7}{5}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{7}{6} क \frac{1}{5} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$A=\frac{7}{30}-\frac{7}{5}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{7}{30} क -\frac{7}{5} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$A=-\frac{7}{6}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$A=-\frac{7}{6},B=\frac{7}{6}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$-15A+3B=21,-3A-15B=-14$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}&-\frac{15}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{78}&-\frac{1}{78}\\\frac{1}{78}&-\frac{5}{78}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{78}\times 21-\frac{1}{78}\left(-14\right)\\\frac{1}{78}\times 21-\frac{5}{78}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}\\\frac{7}{6}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां A आनी B काडचीं.

$$A=-\frac{7}{6},B=\frac{7}{6}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$-15A+3B=21,-3A-15B=-14$$

-15A आनी -3A बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -15 न गुणचें.

$$-3\left(-15\right)A-3\times 3B=-3\times 21,-15\left(-3\right)A-15\left(-15\right)B=-15\left(-14\right)$$

सोंपें करचें.

$$45A-9B=-63,45A+225B=210$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 45A-9B=-63 तल्यान 45A+225B=210 वजा करचो.

$$45A-45A-9B-225B=-63-210$$

-45A कडेन 45A ची बेरीज करची. अटी 45A आनी -45A रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-9B-225B=-63-210$$

-225B कडेन -9B ची बेरीज करची.

$$-234B=-63-210$$

-210 कडेन -63 ची बेरीज करची.

$$-234B=-273$$

दोनुय कुशींक -234 न भाग लावचो.

$$B=\frac{7}{6}$$

-3A-15B=-14 त B खातीर \frac{7}{6} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी A खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-3A-15\times \frac{7}{6}=-14$$

\frac{7}{6}क -15 फावटी गुणचें.

$$-3A-\frac{35}{2}=-14$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{35}{2} ची बेरीज करची.

$$-3A=\frac{7}{2}$$

दोनुय कुशींक -3 न भाग लावचो.

$$A=-\frac{7}{6}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$A=-\frac{7}{6},B=\frac{7}{6}$$