सोडोवचें {l}{-12x-5y=40}{12x-11y=88}

$$\left. \begin{array} { l } { - 12 x - 5 y = 40 } \\ { 12 x - 11 y = 88 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=0$$

$$y=-8$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$-12x-5y=40,12x-11y=88$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$-12x-5y=40$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5y ची बेरीज करची.

$$-12x=5y+40$$

दोनुय कुशींक -12 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{1}{12}\left(5y+40\right)$$

40+5yक -\frac{1}{12} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{5}{12}y-\frac{10}{3}$$

12x-11y=88 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{5y}{12}-\frac{10}{3} बदलपी घेवचो.

$$12\left(-\frac{5}{12}y-\frac{10}{3}\right)-11y=88$$

-\frac{5y}{12}-\frac{10}{3}क 12 फावटी गुणचें.

$$-5y-40-11y=88$$

-11y कडेन -5y ची बेरीज करची.

$$-16y-40=88$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 40 ची बेरीज करची.

$$-16y=128$$

दोनुय कुशींक -16 न भाग लावचो.

$$y=-8$$

x=-\frac{5}{12}y-\frac{10}{3} त y खातीर -8 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{5}{12}\left(-8\right)-\frac{10}{3}$$

-8क -\frac{5}{12} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{10-10}{3}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{10}{3} क -\frac{10}{3} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=0$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=0,y=-8$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$-12x-5y=40,12x-11y=88$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}-12&-5\\12&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-12&-5\\12&-11\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-12&-5\\12&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12&-5\\12&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-12&-5\\12&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-12&-5\\12&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-12&-5\\12&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{-12\left(-11\right)-\left(-5\times 12\right)}&-\frac{-5}{-12\left(-11\right)-\left(-5\times 12\right)}\\-\frac{12}{-12\left(-11\right)-\left(-5\times 12\right)}&-\frac{12}{-12\left(-11\right)-\left(-5\times 12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{192}&\frac{5}{192}\\-\frac{1}{16}&-\frac{1}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{192}\times 40+\frac{5}{192}\times 88\\-\frac{1}{16}\times 40-\frac{1}{16}\times 88\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=0,y=-8$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$-12x-5y=40,12x-11y=88$$

-12x आनी 12x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 12 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -12 न गुणचें.

$$12\left(-12\right)x+12\left(-5\right)y=12\times 40,-12\times 12x-12\left(-11\right)y=-12\times 88$$

सोंपें करचें.

$$-144x-60y=480,-144x+132y=-1056$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -144x-60y=480 तल्यान -144x+132y=-1056 वजा करचो.

$$-144x+144x-60y-132y=480+1056$$

144x कडेन -144x ची बेरीज करची. अटी -144x आनी 144x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-60y-132y=480+1056$$

-132y कडेन -60y ची बेरीज करची.

$$-192y=480+1056$$

1056 कडेन 480 ची बेरीज करची.

$$-192y=1536$$

दोनुय कुशींक -192 न भाग लावचो.

$$y=-8$$

12x-11y=88 त y खातीर -8 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$12x-11\left(-8\right)=88$$

-8क -11 फावटी गुणचें.

$$12x+88=88$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 88 वजा करचें.

$$12x=0$$

दोनुय कुशींक 12 न भाग लावचो.

$$x=0$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=0,y=-8$$