सोडोवचें {l}{-10y+9x=-9}{10y+5x=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 y + 9 x = - 9 } \\ { 10 y + 5 x = - 5 } \end{array} \right.$$

y, x खातीर सोडोवचें

$$x=-1$$

$$y=0$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$-10y+9x=-9,10y+5x=-5$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक y वेगळावन y खातीर तें सोडोवचें.

$$-10y+9x=-9$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 9x वजा करचें.

$$-10y=-9x-9$$

दोनुय कुशींक -10 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{1}{10}\left(-9x-9\right)$$

-9x-9क -\frac{1}{10} फावटी गुणचें.

$$y=\frac{9}{10}x+\frac{9}{10}$$

10y+5x=-5 ह्या दुस-या समिकरणांत y खातीर \frac{9+9x}{10} बदलपी घेवचो.

$$10\left(\frac{9}{10}x+\frac{9}{10}\right)+5x=-5$$

\frac{9+9x}{10}क 10 फावटी गुणचें.

$$9x+9+5x=-5$$

5x कडेन 9x ची बेरीज करची.

$$14x+9=-5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 9 वजा करचें.

$$14x=-14$$

दोनुय कुशींक 14 न भाग लावचो.

$$x=-1$$

y=\frac{9}{10}x+\frac{9}{10} त x खातीर -1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$y=\frac{9}{10}\left(-1\right)+\frac{9}{10}$$

-1क \frac{9}{10} फावटी गुणचें.

$$y=\frac{-9+9}{10}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{9}{10} क \frac{9}{10} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$y=0$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$y=0,x=-1$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$-10y+9x=-9,10y+5x=-5$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-10\times 5-9\times 10}&-\frac{9}{-10\times 5-9\times 10}\\-\frac{10}{-10\times 5-9\times 10}&-\frac{10}{-10\times 5-9\times 10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{28}&\frac{9}{140}\\\frac{1}{14}&\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{28}\left(-9\right)+\frac{9}{140}\left(-5\right)\\\frac{1}{14}\left(-9\right)+\frac{1}{14}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां y आनी x काडचीं.

$$y=0,x=-1$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$-10y+9x=-9,10y+5x=-5$$

-10y आनी 10y बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 10 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -10 न गुणचें.

$$10\left(-10\right)y+10\times 9x=10\left(-9\right),-10\times 10y-10\times 5x=-10\left(-5\right)$$

सोंपें करचें.

$$-100y+90x=-90,-100y-50x=50$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -100y+90x=-90 तल्यान -100y-50x=50 वजा करचो.

$$-100y+100y+90x+50x=-90-50$$

100y कडेन -100y ची बेरीज करची. अटी -100y आनी 100y रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$90x+50x=-90-50$$

50x कडेन 90x ची बेरीज करची.

$$140x=-90-50$$

-50 कडेन -90 ची बेरीज करची.

$$140x=-140$$

दोनुय कुशींक 140 न भाग लावचो.

$$x=-1$$

10y+5x=-5 त x खातीर -1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$10y+5\left(-1\right)=-5$$

-1क 5 फावटी गुणचें.

$$10y-5=-5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5 ची बेरीज करची.

$$10y=0$$

दोनुय कुशींक 10 न भाग लावचो.

$$y=0$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$y=0,x=-1$$