सोडोवचें {l}{-10x-6y=12}{4x+7y=-14}

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 x - 6 y = 12 } \\ { 4 x + 7 y = - 14 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=0$$

$$y=-2$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$-10x-6y=12,4x+7y=-14$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$-10x-6y=12$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 6y ची बेरीज करची.

$$-10x=6y+12$$

दोनुय कुशींक -10 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{1}{10}\left(6y+12\right)$$

12+6yक -\frac{1}{10} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{3}{5}y-\frac{6}{5}$$

4x+7y=-14 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-3y-6}{5} बदलपी घेवचो.

$$4\left(-\frac{3}{5}y-\frac{6}{5}\right)+7y=-14$$

\frac{-3y-6}{5}क 4 फावटी गुणचें.

$$-\frac{12}{5}y-\frac{24}{5}+7y=-14$$

7y कडेन -\frac{12y}{5} ची बेरीज करची.

$$\frac{23}{5}y-\frac{24}{5}=-14$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{24}{5} ची बेरीज करची.

$$\frac{23}{5}y=-\frac{46}{5}$$

\frac{23}{5} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-2$$

x=-\frac{3}{5}y-\frac{6}{5} त y खातीर -2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{3}{5}\left(-2\right)-\frac{6}{5}$$

-2क -\frac{3}{5} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{6-6}{5}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{6}{5} क -\frac{6}{5} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=0$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=0,y=-2$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$-10x-6y=12,4x+7y=-14$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-14\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-14\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{-10\times 7-\left(-6\times 4\right)}&-\frac{-6}{-10\times 7-\left(-6\times 4\right)}\\-\frac{4}{-10\times 7-\left(-6\times 4\right)}&-\frac{10}{-10\times 7-\left(-6\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-14\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{46}&-\frac{3}{23}\\\frac{2}{23}&\frac{5}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-14\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{46}\times 12-\frac{3}{23}\left(-14\right)\\\frac{2}{23}\times 12+\frac{5}{23}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=0,y=-2$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$-10x-6y=12,4x+7y=-14$$

-10x आनी 4x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -10 न गुणचें.

$$4\left(-10\right)x+4\left(-6\right)y=4\times 12,-10\times 4x-10\times 7y=-10\left(-14\right)$$

सोंपें करचें.

$$-40x-24y=48,-40x-70y=140$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -40x-24y=48 तल्यान -40x-70y=140 वजा करचो.

$$-40x+40x-24y+70y=48-140$$

40x कडेन -40x ची बेरीज करची. अटी -40x आनी 40x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-24y+70y=48-140$$

70y कडेन -24y ची बेरीज करची.

$$46y=48-140$$

-140 कडेन 48 ची बेरीज करची.

$$46y=-92$$

दोनुय कुशींक 46 न भाग लावचो.

$$y=-2$$

4x+7y=-14 त y खातीर -2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$4x+7\left(-2\right)=-14$$

-2क 7 फावटी गुणचें.

$$4x-14=-14$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 14 ची बेरीज करची.

$$4x=0$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x=0$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=0,y=-2$$