सोडोवचें {l}{-10x+20y=460}{30x+60y=1620}

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 x + 20 y = 460 } \\ { 30 x + 60 y = 1620 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=4$$

$$y=25$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$-10x+20y=460$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 20y वजा करचें.

$$-10x=-20y+460$$

दोनुय कुशींक -10 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{1}{10}\left(-20y+460\right)$$

-20y+460क -\frac{1}{10} फावटी गुणचें.

$$x=2y-46$$

30x+60y=1620 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -46+2y बदलपी घेवचो.

$$30\left(2y-46\right)+60y=1620$$

-46+2yक 30 फावटी गुणचें.

$$60y-1380+60y=1620$$

60y कडेन 60y ची बेरीज करची.

$$120y-1380=1620$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 1380 ची बेरीज करची.

$$120y=3000$$

दोनुय कुशींक 120 न भाग लावचो.

$$y=25$$

x=2y-46 त y खातीर 25 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=2\times 25-46$$

25क 2 फावटी गुणचें.

$$x=50-46$$

50 कडेन -46 ची बेरीज करची.

$$x=4$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=4,y=25$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{60}{-10\times 60-20\times 30}&-\frac{20}{-10\times 60-20\times 30}\\-\frac{30}{-10\times 60-20\times 30}&-\frac{10}{-10\times 60-20\times 30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}&\frac{1}{60}\\\frac{1}{40}&\frac{1}{120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}\times 460+\frac{1}{60}\times 1620\\\frac{1}{40}\times 460+\frac{1}{120}\times 1620\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\25\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=4,y=25$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

-10x आनी 30x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 30 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -10 न गुणचें.

$$30\left(-10\right)x+30\times 20y=30\times 460,-10\times 30x-10\times 60y=-10\times 1620$$

सोंपें करचें.

$$-300x+600y=13800,-300x-600y=-16200$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -300x+600y=13800 तल्यान -300x-600y=-16200 वजा करचो.

$$-300x+300x+600y+600y=13800+16200$$

300x कडेन -300x ची बेरीज करची. अटी -300x आनी 300x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$600y+600y=13800+16200$$

600y कडेन 600y ची बेरीज करची.

$$1200y=13800+16200$$

16200 कडेन 13800 ची बेरीज करची.

$$1200y=30000$$

दोनुय कुशींक 1200 न भाग लावचो.

$$y=25$$

30x+60y=1620 त y खातीर 25 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$30x+60\times 25=1620$$

25क 60 फावटी गुणचें.

$$30x+1500=1620$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 1500 वजा करचें.

$$30x=120$$

दोनुय कुशींक 30 न भाग लावचो.

$$x=4$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=4,y=25$$