सोडोवचें {l}{-0.8x+2.3y=3.6}{1.6x-1.2y=6.4}

$$\left. \begin{array} { l } { - 0.8 x + 2.3 y = 3.6 } \\ { 1.6 x - 1.2 y = 6.4 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=7$$

$$y=4$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$-0.8x+2.3y=3.6,1.6x-1.2y=6.4$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$-0.8x+2.3y=3.6$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{23y}{10} वजा करचें.

$$-0.8x=-2.3y+3.6$$

-0.8 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$x=-1.25\left(-2.3y+3.6\right)$$

-\frac{23y}{10}+3.6क -1.25 फावटी गुणचें.

$$x=2.875y-4.5$$

1.6x-1.2y=6.4 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{23y}{8}-4.5 बदलपी घेवचो.

$$1.6\left(2.875y-4.5\right)-1.2y=6.4$$

\frac{23y}{8}-4.5क 1.6 फावटी गुणचें.

$$4.6y-7.2-1.2y=6.4$$

-\frac{6y}{5} कडेन \frac{23y}{5} ची बेरीज करची.

$$3.4y-7.2=6.4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 7.2 ची बेरीज करची.

$$3.4y=13.6$$

3.4 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=4$$

x=2.875y-4.5 त y खातीर 4 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=2.875\times 4-4.5$$

4क 2.875 फावटी गुणचें.

$$x=\frac{23-9}{2}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून 11.5 क -4.5 ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=7$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=7,y=4$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$-0.8x+2.3y=3.6,1.6x-1.2y=6.4$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}-0.8&2.3\\1.6&-1.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3.6\\6.4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-0.8&2.3\\1.6&-1.2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-0.8&2.3\\1.6&-1.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-0.8&2.3\\1.6&-1.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.8&2.3\\1.6&-1.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3.6\\6.4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.8&2.3\\1.6&-1.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3.6\\6.4\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.8&2.3\\1.6&-1.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3.6\\6.4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1.2}{-0.8\left(-1.2\right)-2.3\times 1.6}&-\frac{2.3}{-0.8\left(-1.2\right)-2.3\times 1.6}\\-\frac{1.6}{-0.8\left(-1.2\right)-2.3\times 1.6}&-\frac{0.8}{-0.8\left(-1.2\right)-2.3\times 1.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3.6\\6.4\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{34}&\frac{115}{136}\\\frac{10}{17}&\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3.6\\6.4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{34}\times 3.6+\frac{115}{136}\times 6.4\\\frac{10}{17}\times 3.6+\frac{5}{17}\times 6.4\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=7,y=4$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$-0.8x+2.3y=3.6,1.6x-1.2y=6.4$$

-\frac{4x}{5} आनी \frac{8x}{5} बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1.6 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -0.8 न गुणचें.

$$1.6\left(-0.8\right)x+1.6\times 2.3y=1.6\times 3.6,-0.8\times 1.6x-0.8\left(-1.2\right)y=-0.8\times 6.4$$

सोंपें करचें.

$$-1.28x+3.68y=5.76,-1.28x+0.96y=-5.12$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -1.28x+3.68y=5.76 तल्यान -1.28x+0.96y=-5.12 वजा करचो.

$$-1.28x+1.28x+3.68y-0.96y=\frac{144+128}{25}$$

\frac{32x}{25} कडेन -\frac{32x}{25} ची बेरीज करची. अटी -\frac{32x}{25} आनी \frac{32x}{25} रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$3.68y-0.96y=\frac{144+128}{25}$$

-\frac{24y}{25} कडेन \frac{92y}{25} ची बेरीज करची.

$$2.72y=\frac{144+128}{25}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून 5.12 क 5.76 ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$2.72y=10.88$$

2.72 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=4$$

1.6x-1.2y=6.4 त y खातीर 4 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$1.6x-1.2\times 4=6.4$$

4क -1.2 फावटी गुणचें.

$$1.6x-4.8=6.4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4.8 ची बेरीज करची.

$$1.6x=11.2$$

1.6 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$x=7$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=7,y=4$$