सोडोवचें {l}{y+2z/3=4}{5y/6+7z/3=8}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { y + 2 z } { 3 } = 4 } \\ { \frac { 5 y } { 6 } + \frac { 7 z } { 3 } = 8 } \end{array} \right.$$

y, z खातीर सोडोवचें

$$y=18$$

$$z=-3$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशीनीं 3 न गुणचें.

$$y+2z=4\times 3$$

12 मेळोवंक 4 आनी 3 गुणचें.

$$y+2z=12$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 6 वरवीं गुणाकार करच्यो, 6,3 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$5y+2\times 7z=48$$

14 मेळोवंक 2 आनी 7 गुणचें.

$$5y+14z=48$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक y वेगळावन y खातीर तें सोडोवचें.

$$y+2z=12$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2z वजा करचें.

$$y=-2z+12$$

5y+14z=48 ह्या दुस-या समिकरणांत y खातीर -2z+12 बदलपी घेवचो.

$$5\left(-2z+12\right)+14z=48$$

-2z+12क 5 फावटी गुणचें.

$$-10z+60+14z=48$$

14z कडेन -10z ची बेरीज करची.

$$4z+60=48$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 60 वजा करचें.

$$4z=-12$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$z=-3$$

y=-2z+12 त z खातीर -3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$y=-2\left(-3\right)+12$$

-3क -2 फावटी गुणचें.

$$y=6+12$$

6 कडेन 12 ची बेरीज करची.

$$y=18$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$y=18,z=-3$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशीनीं 3 न गुणचें.

$$y+2z=4\times 3$$

12 मेळोवंक 4 आनी 3 गुणचें.

$$y+2z=12$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 6 वरवीं गुणाकार करच्यो, 6,3 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$5y+2\times 7z=48$$

14 मेळोवंक 2 आनी 7 गुणचें.

$$5y+14z=48$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{14-2\times 5}&-\frac{2}{14-2\times 5}\\-\frac{5}{14-2\times 5}&\frac{1}{14-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{5}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\times 12-\frac{1}{2}\times 48\\-\frac{5}{4}\times 12+\frac{1}{4}\times 48\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां y आनी z काडचीं.

$$y=18,z=-3$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशीनीं 3 न गुणचें.

$$y+2z=4\times 3$$

12 मेळोवंक 4 आनी 3 गुणचें.

$$y+2z=12$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 6 वरवीं गुणाकार करच्यो, 6,3 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$5y+2\times 7z=48$$

14 मेळोवंक 2 आनी 7 गुणचें.

$$5y+14z=48$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

y आनी 5y बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$5y+5\times 2z=5\times 12,5y+14z=48$$

सोंपें करचें.

$$5y+10z=60,5y+14z=48$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 5y+10z=60 तल्यान 5y+14z=48 वजा करचो.

$$5y-5y+10z-14z=60-48$$

-5y कडेन 5y ची बेरीज करची. अटी 5y आनी -5y रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$10z-14z=60-48$$

-14z कडेन 10z ची बेरीज करची.

$$-4z=60-48$$

-48 कडेन 60 ची बेरीज करची.

$$-4z=12$$

दोनुय कुशींक -4 न भाग लावचो.

$$z=-3$$

5y+14z=48 त z खातीर -3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$5y+14\left(-3\right)=48$$

-3क 14 फावटी गुणचें.

$$5y-42=48$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 42 ची बेरीज करची.

$$5y=90$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$y=18$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$y=18,z=-3$$