सोडोवचें {l}{x/3+y/5=7}{x/6-2y/5=-4}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 5 } = 7 } \\ { \frac { x } { 6 } - \frac { 2 y } { 5 } = - 4 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=12$$

$$y=15$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 15 वरवीं गुणाकार करच्यो, 3,5 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$5x+3y=105$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 30 वरवीं गुणाकार करच्यो, 6,5 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$5x-6\times 2y=-120$$

-12 मेळोवंक -6 आनी 2 गुणचें.

$$5x-12y=-120$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$5x+3y=105$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y वजा करचें.

$$5x=-3y+105$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+105\right)$$

-3y+105क \frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{3}{5}y+21$$

5x-12y=-120 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{3y}{5}+21 बदलपी घेवचो.

$$5\left(-\frac{3}{5}y+21\right)-12y=-120$$

-\frac{3y}{5}+21क 5 फावटी गुणचें.

$$-3y+105-12y=-120$$

-12y कडेन -3y ची बेरीज करची.

$$-15y+105=-120$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 105 वजा करचें.

$$-15y=-225$$

दोनुय कुशींक -15 न भाग लावचो.

$$y=15$$

x=-\frac{3}{5}y+21 त y खातीर 15 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{3}{5}\times 15+21$$

15क -\frac{3}{5} फावटी गुणचें.

$$x=-9+21$$

-9 कडेन 21 ची बेरीज करची.

$$x=12$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=12,y=15$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 15 वरवीं गुणाकार करच्यो, 3,5 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$5x+3y=105$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 30 वरवीं गुणाकार करच्यो, 6,5 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$5x-6\times 2y=-120$$

-12 मेळोवंक -6 आनी 2 गुणचें.

$$5x-12y=-120$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{5\left(-12\right)-3\times 5}&-\frac{3}{5\left(-12\right)-3\times 5}\\-\frac{5}{5\left(-12\right)-3\times 5}&\frac{5}{5\left(-12\right)-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&\frac{1}{25}\\\frac{1}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 105+\frac{1}{25}\left(-120\right)\\\frac{1}{15}\times 105-\frac{1}{15}\left(-120\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=12,y=15$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 15 वरवीं गुणाकार करच्यो, 3,5 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$5x+3y=105$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 30 वरवीं गुणाकार करच्यो, 6,5 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$5x-6\times 2y=-120$$

-12 मेळोवंक -6 आनी 2 गुणचें.

$$5x-12y=-120$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 5x+3y=105 तल्यान 5x-12y=-120 वजा करचो.

$$5x-5x+3y+12y=105+120$$

-5x कडेन 5x ची बेरीज करची. अटी 5x आनी -5x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$3y+12y=105+120$$

12y कडेन 3y ची बेरीज करची.

$$15y=105+120$$

120 कडेन 105 ची बेरीज करची.

$$15y=225$$

दोनुय कुशींक 15 न भाग लावचो.

$$y=15$$

5x-12y=-120 त y खातीर 15 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$5x-12\times 15=-120$$

15क -12 फावटी गुणचें.

$$5x-180=-120$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 180 ची बेरीज करची.

$$5x=60$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=12$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=12,y=15$$