सोडोवचें {l}{x/2+y/3=10}{x+y=30}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 3 } = 10 } \\ { x + y = 30 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=0$$

$$y=30$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10,x+y=30$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{y}{3} वजा करचें.

$$\frac{1}{2}x=-\frac{1}{3}y+10$$

दोनूय कुशीनीं 2 न गुणचें.

$$x=2\left(-\frac{1}{3}y+10\right)$$

-\frac{y}{3}+10क 2 फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{2}{3}y+20$$

x+y=30 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{2y}{3}+20 बदलपी घेवचो.

$$-\frac{2}{3}y+20+y=30$$

y कडेन -\frac{2y}{3} ची बेरीज करची.

$$\frac{1}{3}y+20=30$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 20 वजा करचें.

$$\frac{1}{3}y=10$$

दोनूय कुशीनीं 3 न गुणचें.

$$y=30$$

x=-\frac{2}{3}y+20 त y खातीर 30 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{2}{3}\times 30+20$$

30क -\frac{2}{3} फावटी गुणचें.

$$x=-20+20$$

-20 कडेन 20 ची बेरीज करची.

$$x=0$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=0,y=30$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10,x+y=30$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}&-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}\\-\frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6&-2\\-6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\times 10-2\times 30\\-6\times 10+3\times 30\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\30\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=0,y=30$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10,x+y=30$$

\frac{x}{2} आनी x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक \frac{1}{2} न गुणचें.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10,\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=\frac{1}{2}\times 30$$

सोंपें करचें.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10,\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=15$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10 तल्यान \frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=15 वजा करचो.

$$\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y-\frac{1}{2}y=10-15$$

-\frac{x}{2} कडेन \frac{x}{2} ची बेरीज करची. अटी \frac{x}{2} आनी -\frac{x}{2} रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$\frac{1}{3}y-\frac{1}{2}y=10-15$$

-\frac{y}{2} कडेन \frac{y}{3} ची बेरीज करची.

$$-\frac{1}{6}y=10-15$$

-15 कडेन 10 ची बेरीज करची.

$$-\frac{1}{6}y=-5$$

दोनूय कुशीनीं -6 न गुणचें.

$$y=30$$

x+y=30 त y खातीर 30 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x+30=30$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 30 वजा करचें.

$$x=0$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=0,y=30$$