सोडोवचें {l}{x+2/2+y-5/5=x/4+1}{x+y=x-1/3+3}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x + 2 } { 2 } + \frac { y - 5 } { 5 } = \frac { x } { 4 } + 1 } \\ { x + y = \frac { x - 1 } { 3 } + 3 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=4$$

$$y=0$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 20 वरवीं गुणाकार करच्यो, 2,5,4 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$10\left(x+2\right)+4\left(y-5\right)=5x+20$$

x+2 न 10 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$10x+20+4\left(y-5\right)=5x+20$$

y-5 न 4 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$10x+20+4y-20=5x+20$$

0 मेळोवंक 20 आनी 20 वजा करचे.

$$10x+4y=5x+20$$

दोनूय कुशींतल्यान 5x वजा करचें.

$$10x+4y-5x=20$$

5x मेळोवंक 10x आनी -5x एकठांय करचें.

$$5x+4y=20$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. 3 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक गुणाकार करचो.

$$3x+3y=x-1+9$$

8 मेळोवंक -1 आनी 9 ची बेरीज करची.

$$3x+3y=x+8$$

दोनूय कुशींतल्यान x वजा करचें.

$$3x+3y-x=8$$

2x मेळोवंक 3x आनी -x एकठांय करचें.

$$2x+3y=8$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$5x+4y=20,2x+3y=8$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$5x+4y=20$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4y वजा करचें.

$$5x=-4y+20$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{5}\left(-4y+20\right)$$

-4y+20क \frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{4}{5}y+4$$

2x+3y=8 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{4y}{5}+4 बदलपी घेवचो.

$$2\left(-\frac{4}{5}y+4\right)+3y=8$$

-\frac{4y}{5}+4क 2 फावटी गुणचें.

$$-\frac{8}{5}y+8+3y=8$$

3y कडेन -\frac{8y}{5} ची बेरीज करची.

$$\frac{7}{5}y+8=8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 8 वजा करचें.

$$\frac{7}{5}y=0$$

\frac{7}{5} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=0$$

x=-\frac{4}{5}y+4 त y खातीर 0 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=4$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=4,y=0$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 20 वरवीं गुणाकार करच्यो, 2,5,4 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$10\left(x+2\right)+4\left(y-5\right)=5x+20$$

x+2 न 10 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$10x+20+4\left(y-5\right)=5x+20$$

y-5 न 4 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$10x+20+4y-20=5x+20$$

0 मेळोवंक 20 आनी 20 वजा करचे.

$$10x+4y=5x+20$$

दोनूय कुशींतल्यान 5x वजा करचें.

$$10x+4y-5x=20$$

5x मेळोवंक 10x आनी -5x एकठांय करचें.

$$5x+4y=20$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. 3 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक गुणाकार करचो.

$$3x+3y=x-1+9$$

8 मेळोवंक -1 आनी 9 ची बेरीज करची.

$$3x+3y=x+8$$

दोनूय कुशींतल्यान x वजा करचें.

$$3x+3y-x=8$$

2x मेळोवंक 3x आनी -x एकठांय करचें.

$$2x+3y=8$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$5x+4y=20,2x+3y=8$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-4\times 2}&-\frac{4}{5\times 3-4\times 2}\\-\frac{2}{5\times 3-4\times 2}&\frac{5}{5\times 3-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{4}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 20-\frac{4}{7}\times 8\\-\frac{2}{7}\times 20+\frac{5}{7}\times 8\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=4,y=0$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 20 वरवीं गुणाकार करच्यो, 2,5,4 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$10\left(x+2\right)+4\left(y-5\right)=5x+20$$

x+2 न 10 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$10x+20+4\left(y-5\right)=5x+20$$

y-5 न 4 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$10x+20+4y-20=5x+20$$

0 मेळोवंक 20 आनी 20 वजा करचे.

$$10x+4y=5x+20$$

दोनूय कुशींतल्यान 5x वजा करचें.

$$10x+4y-5x=20$$

5x मेळोवंक 10x आनी -5x एकठांय करचें.

$$5x+4y=20$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. 3 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक गुणाकार करचो.

$$3x+3y=x-1+9$$

8 मेळोवंक -1 आनी 9 ची बेरीज करची.

$$3x+3y=x+8$$

दोनूय कुशींतल्यान x वजा करचें.

$$3x+3y-x=8$$

2x मेळोवंक 3x आनी -x एकठांय करचें.

$$2x+3y=8$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$5x+4y=20,2x+3y=8$$

5x आनी 2x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न गुणचें.

$$2\times 5x+2\times 4y=2\times 20,5\times 2x+5\times 3y=5\times 8$$

सोंपें करचें.

$$10x+8y=40,10x+15y=40$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 10x+8y=40 तल्यान 10x+15y=40 वजा करचो.

$$10x-10x+8y-15y=40-40$$

-10x कडेन 10x ची बेरीज करची. अटी 10x आनी -10x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$8y-15y=40-40$$

-15y कडेन 8y ची बेरीज करची.

$$-7y=40-40$$

-40 कडेन 40 ची बेरीज करची.

$$-7y=0$$

दोनुय कुशींक -7 न भाग लावचो.

$$y=0$$

2x+3y=8 त y खातीर 0 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$2x=8$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=4$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=4,y=0$$