सोडोवचें {l}{x+1y-1/2+y-1/3=9}{x-1/3+y+1/2=8}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x + 1 y - 1 } { 2 } + \frac { y - 1 } { 3 } = 9 } \\ { \frac { x - 1 } { 3 } + \frac { y + 1 } { 2 } = 8 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=58$$

$$y=-23$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 6 वरवीं गुणाकार करच्यो, 2,3 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$3\left(x+1y-1\right)+2\left(y-1\right)=54$$

x+1y-1 न 3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$3x+3y-3+2\left(y-1\right)=54$$

y-1 न 2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$3x+3y-3+2y-2=54$$

5y मेळोवंक 3y आनी 2y एकठांय करचें.

$$3x+5y-3-2=54$$

-5 मेळोवंक -3 आनी 2 वजा करचे.

$$3x+5y-5=54$$

दोनूय वटांनी 5 जोडचे.

$$3x+5y=54+5$$

59 मेळोवंक 54 आनी 5 ची बेरीज करची.

$$3x+5y=59$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 6 वरवीं गुणाकार करच्यो, 3,2 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$2\left(x-1\right)+3\left(y+1\right)=48$$

x-1 न 2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$2x-2+3\left(y+1\right)=48$$

y+1 न 3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$2x-2+3y+3=48$$

1 मेळोवंक -2 आनी 3 ची बेरीज करची.

$$2x+1+3y=48$$

दोनूय कुशींतल्यान 1 वजा करचें.

$$2x+3y=48-1$$

47 मेळोवंक 48 आनी 1 वजा करचे.

$$2x+3y=47$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$3x+5y=59,2x+3y=47$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$3x+5y=59$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5y वजा करचें.

$$3x=-5y+59$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+59\right)$$

-5y+59क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{59}{3}$$

2x+3y=47 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-5y+59}{3} बदलपी घेवचो.

$$2\left(-\frac{5}{3}y+\frac{59}{3}\right)+3y=47$$

\frac{-5y+59}{3}क 2 फावटी गुणचें.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{118}{3}+3y=47$$

3y कडेन -\frac{10y}{3} ची बेरीज करची.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{118}{3}=47$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{118}{3} वजा करचें.

$$-\frac{1}{3}y=\frac{23}{3}$$

दोनूय कुशीनीं -3 न गुणचें.

$$y=-23$$

x=-\frac{5}{3}y+\frac{59}{3} त y खातीर -23 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-23\right)+\frac{59}{3}$$

-23क -\frac{5}{3} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{115+59}{3}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{115}{3} क \frac{59}{3} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=58$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=58,y=-23$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 6 वरवीं गुणाकार करच्यो, 2,3 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$3\left(x+1y-1\right)+2\left(y-1\right)=54$$

x+1y-1 न 3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$3x+3y-3+2\left(y-1\right)=54$$

y-1 न 2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$3x+3y-3+2y-2=54$$

5y मेळोवंक 3y आनी 2y एकठांय करचें.

$$3x+5y-3-2=54$$

-5 मेळोवंक -3 आनी 2 वजा करचे.

$$3x+5y-5=54$$

दोनूय वटांनी 5 जोडचे.

$$3x+5y=54+5$$

59 मेळोवंक 54 आनी 5 ची बेरीज करची.

$$3x+5y=59$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 6 वरवीं गुणाकार करच्यो, 3,2 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$2\left(x-1\right)+3\left(y+1\right)=48$$

x-1 न 2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$2x-2+3\left(y+1\right)=48$$

y+1 न 3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$2x-2+3y+3=48$$

1 मेळोवंक -2 आनी 3 ची बेरीज करची.

$$2x+1+3y=48$$

दोनूय कुशींतल्यान 1 वजा करचें.

$$2x+3y=48-1$$

47 मेळोवंक 48 आनी 1 वजा करचे.

$$2x+3y=47$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$3x+5y=59,2x+3y=47$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-5\times 2}&-\frac{5}{3\times 3-5\times 2}\\-\frac{2}{3\times 3-5\times 2}&\frac{3}{3\times 3-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 59+5\times 47\\2\times 59-3\times 47\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}58\\-23\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=58,y=-23$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 6 वरवीं गुणाकार करच्यो, 2,3 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$3\left(x+1y-1\right)+2\left(y-1\right)=54$$

x+1y-1 न 3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$3x+3y-3+2\left(y-1\right)=54$$

y-1 न 2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$3x+3y-3+2y-2=54$$

5y मेळोवंक 3y आनी 2y एकठांय करचें.

$$3x+5y-3-2=54$$

-5 मेळोवंक -3 आनी 2 वजा करचे.

$$3x+5y-5=54$$

दोनूय वटांनी 5 जोडचे.

$$3x+5y=54+5$$

59 मेळोवंक 54 आनी 5 ची बेरीज करची.

$$3x+5y=59$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 6 वरवीं गुणाकार करच्यो, 3,2 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$2\left(x-1\right)+3\left(y+1\right)=48$$

x-1 न 2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$2x-2+3\left(y+1\right)=48$$

y+1 न 3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$2x-2+3y+3=48$$

1 मेळोवंक -2 आनी 3 ची बेरीज करची.

$$2x+1+3y=48$$

दोनूय कुशींतल्यान 1 वजा करचें.

$$2x+3y=48-1$$

47 मेळोवंक 48 आनी 1 वजा करचे.

$$2x+3y=47$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$3x+5y=59,2x+3y=47$$

3x आनी 2x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न गुणचें.

$$2\times 3x+2\times 5y=2\times 59,3\times 2x+3\times 3y=3\times 47$$

सोंपें करचें.

$$6x+10y=118,6x+9y=141$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 6x+10y=118 तल्यान 6x+9y=141 वजा करचो.

$$6x-6x+10y-9y=118-141$$

-6x कडेन 6x ची बेरीज करची. अटी 6x आनी -6x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$10y-9y=118-141$$

-9y कडेन 10y ची बेरीज करची.

$$y=118-141$$

-141 कडेन 118 ची बेरीज करची.

$$y=-23$$

2x+3y=47 त y खातीर -23 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$2x+3\left(-23\right)=47$$

-23क 3 फावटी गुणचें.

$$2x-69=47$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 69 ची बेरीज करची.

$$2x=116$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=58$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=58,y=-23$$