सोडोवचें {l}{x+1/y+2=2/3}{x-2/y-1=1/3}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x + 1 } { y + 2 } = \frac { 2 } { 3 } } \\ { \frac { x - 2 } { y - 1 } = \frac { 1 } { 3 } } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=3$$

$$y=4$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. विभागणी शुन्यची व्याख्या नाशिल्ल्यान अचल y हो -2 च्या समान आसूंक शकना. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 3\left(y+2\right) वरवीं गुणाकार करच्यो, y+2,3 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$3\left(x+1\right)=2\left(y+2\right)$$

x+1 न 3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$3x+3=2\left(y+2\right)$$

y+2 न 2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$3x+3=2y+4$$

दोनूय कुशींतल्यान 2y वजा करचें.

$$3x+3-2y=4$$

दोनूय कुशींतल्यान 3 वजा करचें.

$$3x-2y=4-3$$

1 मेळोवंक 4 आनी 3 वजा करचे.

$$3x-2y=1$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. विभागणी शुन्यची व्याख्या नाशिल्ल्यान अचल y हो 1 च्या समान आसूंक शकना. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 3\left(y-1\right) वरवीं गुणाकार करच्यो, y-1,3 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$3\left(x-2\right)=y-1$$

x-2 न 3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$3x-6=y-1$$

दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$3x-6-y=-1$$

दोनूय वटांनी 6 जोडचे.

$$3x-y=-1+6$$

5 मेळोवंक -1 आनी 6 ची बेरीज करची.

$$3x-y=5$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$3x-2y=1,3x-y=5$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$3x-2y=1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2y ची बेरीज करची.

$$3x=2y+1$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+1\right)$$

2y+1क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}$$

3x-y=5 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{2y+1}{3} बदलपी घेवचो.

$$3\left(\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}\right)-y=5$$

\frac{2y+1}{3}क 3 फावटी गुणचें.

$$2y+1-y=5$$

-y कडेन 2y ची बेरीज करची.

$$y+1=5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 1 वजा करचें.

$$y=4$$

x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3} त y खातीर 4 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{2}{3}\times 4+\frac{1}{3}$$

4क \frac{2}{3} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{8+1}{3}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{8}{3} क \frac{1}{3} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=3$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=3,y=4$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. विभागणी शुन्यची व्याख्या नाशिल्ल्यान अचल y हो -2 च्या समान आसूंक शकना. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 3\left(y+2\right) वरवीं गुणाकार करच्यो, y+2,3 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$3\left(x+1\right)=2\left(y+2\right)$$

x+1 न 3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$3x+3=2\left(y+2\right)$$

y+2 न 2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$3x+3=2y+4$$

दोनूय कुशींतल्यान 2y वजा करचें.

$$3x+3-2y=4$$

दोनूय कुशींतल्यान 3 वजा करचें.

$$3x-2y=4-3$$

1 मेळोवंक 4 आनी 3 वजा करचे.

$$3x-2y=1$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. विभागणी शुन्यची व्याख्या नाशिल्ल्यान अचल y हो 1 च्या समान आसूंक शकना. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 3\left(y-1\right) वरवीं गुणाकार करच्यो, y-1,3 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$3\left(x-2\right)=y-1$$

x-2 न 3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$3x-6=y-1$$

दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$3x-6-y=-1$$

दोनूय वटांनी 6 जोडचे.

$$3x-y=-1+6$$

5 मेळोवंक -1 आनी 6 ची बेरीज करची.

$$3x-y=5$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$3x-2y=1,3x-y=5$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times 5\\-1+5\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=3,y=4$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. विभागणी शुन्यची व्याख्या नाशिल्ल्यान अचल y हो -2 च्या समान आसूंक शकना. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 3\left(y+2\right) वरवीं गुणाकार करच्यो, y+2,3 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$3\left(x+1\right)=2\left(y+2\right)$$

x+1 न 3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$3x+3=2\left(y+2\right)$$

y+2 न 2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$3x+3=2y+4$$

दोनूय कुशींतल्यान 2y वजा करचें.

$$3x+3-2y=4$$

दोनूय कुशींतल्यान 3 वजा करचें.

$$3x-2y=4-3$$

1 मेळोवंक 4 आनी 3 वजा करचे.

$$3x-2y=1$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. विभागणी शुन्यची व्याख्या नाशिल्ल्यान अचल y हो 1 च्या समान आसूंक शकना. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 3\left(y-1\right) वरवीं गुणाकार करच्यो, y-1,3 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$3\left(x-2\right)=y-1$$

x-2 न 3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$3x-6=y-1$$

दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$3x-6-y=-1$$

दोनूय वटांनी 6 जोडचे.

$$3x-y=-1+6$$

5 मेळोवंक -1 आनी 6 ची बेरीज करची.

$$3x-y=5$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$3x-2y=1,3x-y=5$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 3x-2y=1 तल्यान 3x-y=5 वजा करचो.

$$3x-3x-2y+y=1-5$$

-3x कडेन 3x ची बेरीज करची. अटी 3x आनी -3x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-2y+y=1-5$$

y कडेन -2y ची बेरीज करची.

$$-y=1-5$$

-5 कडेन 1 ची बेरीज करची.

$$-y=-4$$

दोनुय कुशींक -1 न भाग लावचो.

$$y=4$$

3x-y=5 त y खातीर 4 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3x-4=5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4 ची बेरीज करची.

$$3x=9$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=3$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=3,y=4$$