सोडोवचें {l}{5/4x-2/3y=3}{1/4x+5/3y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 5 } { 4 } x - \frac { 2 } { 3 } y = 3 } \\ { \frac { 1 } { 4 } x + \frac { 5 } { 3 } y = 6 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=4$$

$$y=3$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$\frac{5}{4}x-\frac{2}{3}y=3,\frac{1}{4}x+\frac{5}{3}y=6$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$\frac{5}{4}x-\frac{2}{3}y=3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{2y}{3} ची बेरीज करची.

$$\frac{5}{4}x=\frac{2}{3}y+3$$

\frac{5}{4} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$x=\frac{4}{5}\left(\frac{2}{3}y+3\right)$$

\frac{2y}{3}+3क \frac{4}{5} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{8}{15}y+\frac{12}{5}$$

\frac{1}{4}x+\frac{5}{3}y=6 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{8y}{15}+\frac{12}{5} बदलपी घेवचो.

$$\frac{1}{4}\left(\frac{8}{15}y+\frac{12}{5}\right)+\frac{5}{3}y=6$$

\frac{8y}{15}+\frac{12}{5}क \frac{1}{4} फावटी गुणचें.

$$\frac{2}{15}y+\frac{3}{5}+\frac{5}{3}y=6$$

\frac{5y}{3} कडेन \frac{2y}{15} ची बेरीज करची.

$$\frac{9}{5}y+\frac{3}{5}=6$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{3}{5} वजा करचें.

$$\frac{9}{5}y=\frac{27}{5}$$

\frac{9}{5} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=3$$

x=\frac{8}{15}y+\frac{12}{5} त y खातीर 3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{8}{15}\times 3+\frac{12}{5}$$

3क \frac{8}{15} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{8+12}{5}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{8}{5} क \frac{12}{5} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=4$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=4,y=3$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$\frac{5}{4}x-\frac{2}{3}y=3,\frac{1}{4}x+\frac{5}{3}y=6$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{4}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{4}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{4}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{4}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{4}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{4}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{4}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{5}{3}}{\frac{5}{4}\times \frac{5}{3}-\left(-\frac{2}{3}\times \frac{1}{4}\right)}&-\frac{-\frac{2}{3}}{\frac{5}{4}\times \frac{5}{3}-\left(-\frac{2}{3}\times \frac{1}{4}\right)}\\-\frac{\frac{1}{4}}{\frac{5}{4}\times \frac{5}{3}-\left(-\frac{2}{3}\times \frac{1}{4}\right)}&\frac{\frac{5}{4}}{\frac{5}{4}\times \frac{5}{3}-\left(-\frac{2}{3}\times \frac{1}{4}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{27}&\frac{8}{27}\\-\frac{1}{9}&\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{27}\times 3+\frac{8}{27}\times 6\\-\frac{1}{9}\times 3+\frac{5}{9}\times 6\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=4,y=3$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$\frac{5}{4}x-\frac{2}{3}y=3,\frac{1}{4}x+\frac{5}{3}y=6$$

\frac{5x}{4} आनी \frac{x}{4} बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक \frac{1}{4} न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक \frac{5}{4} न गुणचें.

$$\frac{1}{4}\times \frac{5}{4}x+\frac{1}{4}\left(-\frac{2}{3}\right)y=\frac{1}{4}\times 3,\frac{5}{4}\times \frac{1}{4}x+\frac{5}{4}\times \frac{5}{3}y=\frac{5}{4}\times 6$$

सोंपें करचें.

$$\frac{5}{16}x-\frac{1}{6}y=\frac{3}{4},\frac{5}{16}x+\frac{25}{12}y=\frac{15}{2}$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून \frac{5}{16}x-\frac{1}{6}y=\frac{3}{4} तल्यान \frac{5}{16}x+\frac{25}{12}y=\frac{15}{2} वजा करचो.

$$\frac{5}{16}x-\frac{5}{16}x-\frac{1}{6}y-\frac{25}{12}y=\frac{3}{4}-\frac{15}{2}$$

-\frac{5x}{16} कडेन \frac{5x}{16} ची बेरीज करची. अटी \frac{5x}{16} आनी -\frac{5x}{16} रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-\frac{1}{6}y-\frac{25}{12}y=\frac{3}{4}-\frac{15}{2}$$

-\frac{25y}{12} कडेन -\frac{y}{6} ची बेरीज करची.

$$-\frac{9}{4}y=\frac{3}{4}-\frac{15}{2}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{15}{2} क \frac{3}{4} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$-\frac{9}{4}y=-\frac{27}{4}$$

-\frac{9}{4} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=3$$

\frac{1}{4}x+\frac{5}{3}y=6 त y खातीर 3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$\frac{1}{4}x+\frac{5}{3}\times 3=6$$

3क \frac{5}{3} फावटी गुणचें.

$$\frac{1}{4}x+5=6$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5 वजा करचें.

$$\frac{1}{4}x=1$$

दोनूय कुशीनीं 4 न गुणचें.

$$x=4$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=4,y=3$$