सोडोवचें {l}{2/3x+1/7y=9}{1/3x-5/7y=-12}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 } { 3 } x + \frac { 1 } { 7 } y = 9 } \\ { \frac { 1 } { 3 } x - \frac { 5 } { 7 } y = - 12 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=9$$

$$y=21$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{7}y=9,\frac{1}{3}x-\frac{5}{7}y=-12$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{7}y=9$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{y}{7} वजा करचें.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{1}{7}y+9$$

\frac{2}{3} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{7}y+9\right)$$

-\frac{y}{7}+9क \frac{3}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{3}{14}y+\frac{27}{2}$$

\frac{1}{3}x-\frac{5}{7}y=-12 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{3y}{14}+\frac{27}{2} बदलपी घेवचो.

$$\frac{1}{3}\left(-\frac{3}{14}y+\frac{27}{2}\right)-\frac{5}{7}y=-12$$

-\frac{3y}{14}+\frac{27}{2}क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$-\frac{1}{14}y+\frac{9}{2}-\frac{5}{7}y=-12$$

-\frac{5y}{7} कडेन -\frac{y}{14} ची बेरीज करची.

$$-\frac{11}{14}y+\frac{9}{2}=-12$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{9}{2} वजा करचें.

$$-\frac{11}{14}y=-\frac{33}{2}$$

-\frac{11}{14} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=21$$

x=-\frac{3}{14}y+\frac{27}{2} त y खातीर 21 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{3}{14}\times 21+\frac{27}{2}$$

21क -\frac{3}{14} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-9+27}{2}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{9}{2} क \frac{27}{2} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=9$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=9,y=21$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{7}y=9,\frac{1}{3}x-\frac{5}{7}y=-12$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-12\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-12\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{5}{7}}{\frac{2}{3}\left(-\frac{5}{7}\right)-\frac{1}{7}\times \frac{1}{3}}&-\frac{\frac{1}{7}}{\frac{2}{3}\left(-\frac{5}{7}\right)-\frac{1}{7}\times \frac{1}{3}}\\-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}\left(-\frac{5}{7}\right)-\frac{1}{7}\times \frac{1}{3}}&\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}\left(-\frac{5}{7}\right)-\frac{1}{7}\times \frac{1}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-12\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{11}&\frac{3}{11}\\\frac{7}{11}&-\frac{14}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-12\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{11}\times 9+\frac{3}{11}\left(-12\right)\\\frac{7}{11}\times 9-\frac{14}{11}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=9,y=21$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{7}y=9,\frac{1}{3}x-\frac{5}{7}y=-12$$

\frac{2x}{3} आनी \frac{x}{3} बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक \frac{1}{3} न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक \frac{2}{3} न गुणचें.

$$\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}x+\frac{1}{3}\times \frac{1}{7}y=\frac{1}{3}\times 9,\frac{2}{3}\times \frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\left(-\frac{5}{7}\right)y=\frac{2}{3}\left(-12\right)$$

सोंपें करचें.

$$\frac{2}{9}x+\frac{1}{21}y=3,\frac{2}{9}x-\frac{10}{21}y=-8$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून \frac{2}{9}x+\frac{1}{21}y=3 तल्यान \frac{2}{9}x-\frac{10}{21}y=-8 वजा करचो.

$$\frac{2}{9}x-\frac{2}{9}x+\frac{1}{21}y+\frac{10}{21}y=3+8$$

-\frac{2x}{9} कडेन \frac{2x}{9} ची बेरीज करची. अटी \frac{2x}{9} आनी -\frac{2x}{9} रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$\frac{1}{21}y+\frac{10}{21}y=3+8$$

\frac{10y}{21} कडेन \frac{y}{21} ची बेरीज करची.

$$\frac{11}{21}y=3+8$$

8 कडेन 3 ची बेरीज करची.

$$\frac{11}{21}y=11$$

\frac{11}{21} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=21$$

\frac{1}{3}x-\frac{5}{7}y=-12 त y खातीर 21 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$\frac{1}{3}x-\frac{5}{7}\times 21=-12$$

21क -\frac{5}{7} फावटी गुणचें.

$$\frac{1}{3}x-15=-12$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 15 ची बेरीज करची.

$$\frac{1}{3}x=3$$

दोनूय कुशीनीं 3 न गुणचें.

$$x=9$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=9,y=21$$