सोडोवचें {l}{108/100x+110y/100=1008}{110/100x+108/100y=1028}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 108 } { 100 } x + \frac { 110 y } { 100 } = 1008 } \\ { \frac { 110 } { 100 } x + \frac { 108 } { 100 } y = 1028 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{105400}{109} = 966\frac{106}{109} \approx 966.972477064$$

$$y = -\frac{3600}{109} = -33\frac{3}{109} \approx -33.027522936$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. 100 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक गुणाकार करचो.

$$108x+110y=100800$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. 10 भायर काडून आनी रद्द करून एकदम उण्या संज्ञेत अपुर्णांक \frac{110}{100} उणो करचो.

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

4 भायर काडून आनी रद्द करून एकदम उण्या संज्ञेत अपुर्णांक \frac{108}{100} उणो करचो.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$108x+110y=100800$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 110y वजा करचें.

$$108x=-110y+100800$$

दोनुय कुशींक 108 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{108}\left(-110y+100800\right)$$

-110y+100800क \frac{1}{108} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3}$$

\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{55y}{54}+\frac{2800}{3} बदलपी घेवचो.

$$\frac{11}{10}\left(-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3}\right)+\frac{27}{25}y=1028$$

-\frac{55y}{54}+\frac{2800}{3}क \frac{11}{10} फावटी गुणचें.

$$-\frac{121}{108}y+\frac{3080}{3}+\frac{27}{25}y=1028$$

\frac{27y}{25} कडेन -\frac{121y}{108} ची बेरीज करची.

$$-\frac{109}{2700}y+\frac{3080}{3}=1028$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{3080}{3} वजा करचें.

$$-\frac{109}{2700}y=\frac{4}{3}$$

-\frac{109}{2700} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-\frac{3600}{109}$$

x=-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3} त y खातीर -\frac{3600}{109} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{55}{54}\left(-\frac{3600}{109}\right)+\frac{2800}{3}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून -\frac{3600}{109} क -\frac{55}{54} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{11000}{327}+\frac{2800}{3}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{11000}{327} क \frac{2800}{3} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{105400}{109}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. 100 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक गुणाकार करचो.

$$108x+110y=100800$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. 10 भायर काडून आनी रद्द करून एकदम उण्या संज्ञेत अपुर्णांक \frac{110}{100} उणो करचो.

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

4 भायर काडून आनी रद्द करून एकदम उण्या संज्ञेत अपुर्णांक \frac{108}{100} उणो करचो.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{27}{25}}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}&-\frac{110}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}\\-\frac{\frac{11}{10}}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}&\frac{108}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{27}{109}&\frac{2750}{109}\\\frac{55}{218}&-\frac{2700}{109}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{27}{109}\times 100800+\frac{2750}{109}\times 1028\\\frac{55}{218}\times 100800-\frac{2700}{109}\times 1028\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{105400}{109}\\-\frac{3600}{109}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. 100 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक गुणाकार करचो.

$$108x+110y=100800$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. 10 भायर काडून आनी रद्द करून एकदम उण्या संज्ञेत अपुर्णांक \frac{110}{100} उणो करचो.

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

4 भायर काडून आनी रद्द करून एकदम उण्या संज्ञेत अपुर्णांक \frac{108}{100} उणो करचो.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

108x आनी \frac{11x}{10} बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक \frac{11}{10} न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 108 न गुणचें.

$$\frac{11}{10}\times 108x+\frac{11}{10}\times 110y=\frac{11}{10}\times 100800,108\times \frac{11}{10}x+108\times \frac{27}{25}y=108\times 1028$$

सोंपें करचें.

$$\frac{594}{5}x+121y=110880,\frac{594}{5}x+\frac{2916}{25}y=111024$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून \frac{594}{5}x+121y=110880 तल्यान \frac{594}{5}x+\frac{2916}{25}y=111024 वजा करचो.

$$\frac{594}{5}x-\frac{594}{5}x+121y-\frac{2916}{25}y=110880-111024$$

-\frac{594x}{5} कडेन \frac{594x}{5} ची बेरीज करची. अटी \frac{594x}{5} आनी -\frac{594x}{5} रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$121y-\frac{2916}{25}y=110880-111024$$

-\frac{2916y}{25} कडेन 121y ची बेरीज करची.

$$\frac{109}{25}y=110880-111024$$

-111024 कडेन 110880 ची बेरीज करची.

$$\frac{109}{25}y=-144$$

\frac{109}{25} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-\frac{3600}{109}$$

\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028 त y खातीर -\frac{3600}{109} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}\left(-\frac{3600}{109}\right)=1028$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून -\frac{3600}{109} क \frac{27}{25} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$\frac{11}{10}x-\frac{3888}{109}=1028$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{3888}{109} ची बेरीज करची.

$$\frac{11}{10}x=\frac{115940}{109}$$

\frac{11}{10} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$x=\frac{105400}{109}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$