सोडोवचें {l}{1/5y-x=1/2text{op}}{1/3x-1/2y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 5 } y - x = \frac { 1 } { 2 } \text { op } } \\ { \frac { 1 } { 3 } x - \frac { 1 } { 2 } y = 10 } \end{array} \right.$$

y, x खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{45}{2} = 22\frac{1}{2} = 22.5$$

$$y=115$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}y+3x=10$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक y वेगळावन y खातीर तें सोडोवचें.

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2}$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान x ची बेरीज करची.

$$\frac{1}{5}y=x+\frac{1}{2}$$

दोनूय कुशीनीं 5 न गुणचें.

$$y=5\left(x+\frac{1}{2}\right)$$

x+\frac{1}{2}क 5 फावटी गुणचें.

$$y=5x+\frac{5}{2}$$

-\frac{1}{2}y+3x=10 ह्या दुस-या समिकरणांत y खातीर 5x+\frac{5}{2} बदलपी घेवचो.

$$-\frac{1}{2}\left(5x+\frac{5}{2}\right)+3x=10$$

5x+\frac{5}{2}क -\frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$-\frac{5}{2}x-\frac{5}{4}+3x=10$$

3x कडेन -\frac{5x}{2} ची बेरीज करची.

$$\frac{1}{2}x-\frac{5}{4}=10$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{5}{4} ची बेरीज करची.

$$\frac{1}{2}x=\frac{45}{4}$$

दोनूय कुशीनीं 2 न गुणचें.

$$x=\frac{45}{2}$$

y=5x+\frac{5}{2} त x खातीर \frac{45}{2} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$y=5\times \frac{45}{2}+\frac{5}{2}$$

\frac{45}{2}क 5 फावटी गुणचें.

$$y=\frac{225+5}{2}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{225}{2} क \frac{5}{2} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$y=115$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$y=115,x=\frac{45}{2}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}y+3x=10$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&-\frac{-1}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30&10\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\times \frac{1}{2}+10\times 10\\5\times \frac{1}{2}+2\times 10\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}115\\\frac{45}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां y आनी x काडचीं.

$$y=115,x=\frac{45}{2}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}y+3x=10$$

\frac{y}{5} आनी -\frac{y}{2} बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -\frac{1}{2} न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक \frac{1}{5} न गुणचें.

$$-\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}y-\frac{1}{2}\left(-1\right)x=-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2},\frac{1}{5}\left(-\frac{1}{2}\right)y+\frac{1}{5}\times 3x=\frac{1}{5}\times 10$$

सोंपें करचें.

$$-\frac{1}{10}y+\frac{1}{2}x=-\frac{1}{4},-\frac{1}{10}y+\frac{3}{5}x=2$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -\frac{1}{10}y+\frac{1}{2}x=-\frac{1}{4} तल्यान -\frac{1}{10}y+\frac{3}{5}x=2 वजा करचो.

$$-\frac{1}{10}y+\frac{1}{10}y+\frac{1}{2}x-\frac{3}{5}x=-\frac{1}{4}-2$$

\frac{y}{10} कडेन -\frac{y}{10} ची बेरीज करची. अटी -\frac{y}{10} आनी \frac{y}{10} रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$\frac{1}{2}x-\frac{3}{5}x=-\frac{1}{4}-2$$

-\frac{3x}{5} कडेन \frac{x}{2} ची बेरीज करची.

$$-\frac{1}{10}x=-\frac{1}{4}-2$$

-2 कडेन -\frac{1}{4} ची बेरीज करची.

$$-\frac{1}{10}x=-\frac{9}{4}$$

दोनूय कुशीनीं -10 न गुणचें.

$$x=\frac{45}{2}$$

-\frac{1}{2}y+3x=10 त x खातीर \frac{45}{2} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-\frac{1}{2}y+3\times \frac{45}{2}=10$$

\frac{45}{2}क 3 फावटी गुणचें.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{135}{2}=10$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{135}{2} वजा करचें.

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{115}{2}$$

दोनूय कुशीनीं -2 न गुणचें.

$$y=115$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$y=115,x=\frac{45}{2}$$