सोडोवचें {l}{+3|-5(-7+1|}{x-2019|=|x-}{2x+2y=9}{3x-7y=21}

$$\left. \begin{array} { l } { + 3 | - 5 ( - 7 + 1 | } \\ { x - 2019 | = | x - } \\ { 2 x + 2 y = 9 } \\ { 3 x - 7 y = 21 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{21}{4} = 5\frac{1}{4} = 5.25$$

$$y=-\frac{3}{4}=-0.75$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x+2y=9,3x-7y=21$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x+2y=9$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2y वजा करचें.

$$2x=-2y+9$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2y+9\right)$$

-2y+9क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-y+\frac{9}{2}$$

3x-7y=21 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -y+\frac{9}{2} बदलपी घेवचो.

$$3\left(-y+\frac{9}{2}\right)-7y=21$$

-y+\frac{9}{2}क 3 फावटी गुणचें.

$$-3y+\frac{27}{2}-7y=21$$

-7y कडेन -3y ची बेरीज करची.

$$-10y+\frac{27}{2}=21$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{27}{2} वजा करचें.

$$-10y=\frac{15}{2}$$

दोनुय कुशींक -10 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{3}{4}$$

x=-y+\frac{9}{2} त y खातीर -\frac{3}{4} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\left(-\frac{3}{4}\right)+\frac{9}{2}$$

-\frac{3}{4}क -1 फावटी गुणचें.

$$x=\frac{3}{4}+\frac{9}{2}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{3}{4} क \frac{9}{2} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{21}{4}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{21}{4},y=-\frac{3}{4}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x+2y=9,3x-7y=21$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&2\\3&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&2\\3&-7\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\3&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{2\left(-7\right)-2\times 3}&-\frac{2}{2\left(-7\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-7\right)-2\times 3}&\frac{2}{2\left(-7\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{20}&\frac{1}{10}\\\frac{3}{20}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{20}\times 9+\frac{1}{10}\times 21\\\frac{3}{20}\times 9-\frac{1}{10}\times 21\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{21}{4}\\-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{21}{4},y=-\frac{3}{4}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x+2y=9,3x-7y=21$$

2x आनी 3x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$3\times 2x+3\times 2y=3\times 9,2\times 3x+2\left(-7\right)y=2\times 21$$

सोंपें करचें.

$$6x+6y=27,6x-14y=42$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 6x+6y=27 तल्यान 6x-14y=42 वजा करचो.

$$6x-6x+6y+14y=27-42$$

-6x कडेन 6x ची बेरीज करची. अटी 6x आनी -6x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$6y+14y=27-42$$

14y कडेन 6y ची बेरीज करची.

$$20y=27-42$$

-42 कडेन 27 ची बेरीज करची.

$$20y=-15$$

दोनुय कुशींक 20 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{3}{4}$$

3x-7y=21 त y खातीर -\frac{3}{4} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3x-7\left(-\frac{3}{4}\right)=21$$

-\frac{3}{4}क -7 फावटी गुणचें.

$$3x+\frac{21}{4}=21$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{21}{4} वजा करचें.

$$3x=\frac{63}{4}$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=\frac{21}{4}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{21}{4},y=-\frac{3}{4}$$