सोडोवचें {c}{y=x+1000}{0.08x+0.06y=515}

$$\left. \begin{array} { c } { y = x + 1000 } \\ { 0.08 x + 0.06 y = 515 } \end{array} \right.$$

y, x खातीर सोडोवचें

$$x=3250$$

$$y=4250$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान x वजा करचें.

$$y-x=1000$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$y-x=1000,0.06y+0.08x=515$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक y वेगळावन y खातीर तें सोडोवचें.

$$y-x=1000$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान x ची बेरीज करची.

$$y=x+1000$$

0.06y+0.08x=515 ह्या दुस-या समिकरणांत y खातीर x+1000 बदलपी घेवचो.

$$0.06\left(x+1000\right)+0.08x=515$$

x+1000क 0.06 फावटी गुणचें.

$$0.06x+60+0.08x=515$$

\frac{2x}{25} कडेन \frac{3x}{50} ची बेरीज करची.

$$0.14x+60=515$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 60 वजा करचें.

$$0.14x=455$$

0.14 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$x=3250$$

y=x+1000 त x खातीर 3250 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$y=3250+1000$$

3250 कडेन 1000 ची बेरीज करची.

$$y=4250$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$y=4250,x=3250$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान x वजा करचें.

$$y-x=1000$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$y-x=1000,0.06y+0.08x=515$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\0.06&0.08\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1000\\515\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-1\\0.06&0.08\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\0.06&0.08\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\0.06&0.08\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\0.06&0.08\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1000\\515\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\0.06&0.08\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1000\\515\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\0.06&0.08\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1000\\515\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.08}{0.08-\left(-0.06\right)}&-\frac{-1}{0.08-\left(-0.06\right)}\\-\frac{0.06}{0.08-\left(-0.06\right)}&\frac{1}{0.08-\left(-0.06\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1000\\515\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}&\frac{50}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{50}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1000\\515\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}\times 1000+\frac{50}{7}\times 515\\-\frac{3}{7}\times 1000+\frac{50}{7}\times 515\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4250\\3250\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां y आनी x काडचीं.

$$y=4250,x=3250$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान x वजा करचें.

$$y-x=1000$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$y-x=1000,0.06y+0.08x=515$$

y आनी \frac{3y}{50} बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 0.06 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$0.06y+0.06\left(-1\right)x=0.06\times 1000,0.06y+0.08x=515$$

सोंपें करचें.

$$0.06y-0.06x=60,0.06y+0.08x=515$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 0.06y-0.06x=60 तल्यान 0.06y+0.08x=515 वजा करचो.

$$0.06y-0.06y-0.06x-0.08x=60-515$$

-\frac{3y}{50} कडेन \frac{3y}{50} ची बेरीज करची. अटी \frac{3y}{50} आनी -\frac{3y}{50} रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-0.06x-0.08x=60-515$$

-\frac{2x}{25} कडेन -\frac{3x}{50} ची बेरीज करची.

$$-0.14x=60-515$$

-515 कडेन 60 ची बेरीज करची.

$$-0.14x=-455$$

-0.14 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$x=3250$$

0.06y+0.08x=515 त x खातीर 3250 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$0.06y+0.08\times 3250=515$$

3250क 0.08 फावटी गुणचें.

$$0.06y+260=515$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 260 वजा करचें.

$$0.06y=255$$

0.06 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=4250$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$y=4250,x=3250$$