सोडोवचें {c}{x-2y=8}{2x-3y=1}

$$\left. \begin{array} { c } { x - 2 y = 8 } \\ { 2 x - 3 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-22$$

$$y=-15$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$x-2y=8,2x-3y=1$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$x-2y=8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2y ची बेरीज करची.

$$x=2y+8$$

2x-3y=1 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर 8+2y बदलपी घेवचो.

$$2\left(2y+8\right)-3y=1$$

8+2yक 2 फावटी गुणचें.

$$4y+16-3y=1$$

-3y कडेन 4y ची बेरीज करची.

$$y+16=1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 16 वजा करचें.

$$y=-15$$

x=2y+8 त y खातीर -15 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=2\left(-15\right)+8$$

-15क 2 फावटी गुणचें.

$$x=-30+8$$

-30 कडेन 8 ची बेरीज करची.

$$x=-22$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-22,y=-15$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$x-2y=8,2x-3y=1$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{-3-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{-3-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{-3-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 8+2\\-2\times 8+1\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22\\-15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-22,y=-15$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$x-2y=8,2x-3y=1$$

x आनी 2x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$2x+2\left(-2\right)y=2\times 8,2x-3y=1$$

सोंपें करचें.

$$2x-4y=16,2x-3y=1$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 2x-4y=16 तल्यान 2x-3y=1 वजा करचो.

$$2x-2x-4y+3y=16-1$$

-2x कडेन 2x ची बेरीज करची. अटी 2x आनी -2x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-4y+3y=16-1$$

3y कडेन -4y ची बेरीज करची.

$$-y=16-1$$

-1 कडेन 16 ची बेरीज करची.

$$-y=15$$

दोनुय कुशींक -1 न भाग लावचो.

$$y=-15$$

2x-3y=1 त y खातीर -15 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$2x-3\left(-15\right)=1$$

-15क -3 फावटी गुणचें.

$$2x+45=1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 45 वजा करचें.

$$2x=-44$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=-22$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-22,y=-15$$