सोडोवचें {c}{x-2y=-21}{2x-y=12}

$$\left. \begin{array} { c } { x - 2 y = - 21 } \\ { 2 x - y = 12 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=15$$

$$y=18$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$x-2y=-21,2x-y=12$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$x-2y=-21$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2y ची बेरीज करची.

$$x=2y-21$$

2x-y=12 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर 2y-21 बदलपी घेवचो.

$$2\left(2y-21\right)-y=12$$

2y-21क 2 फावटी गुणचें.

$$4y-42-y=12$$

-y कडेन 4y ची बेरीज करची.

$$3y-42=12$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 42 ची बेरीज करची.

$$3y=54$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$y=18$$

x=2y-21 त y खातीर 18 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=2\times 18-21$$

18क 2 फावटी गुणचें.

$$x=36-21$$

36 कडेन -21 ची बेरीज करची.

$$x=15$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=15,y=18$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$x-2y=-21,2x-y=12$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-21\\12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-21\\12\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-21\\12\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-21\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{-1-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{-1-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{-1-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-21\\12\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-21\\12\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-21\right)+\frac{2}{3}\times 12\\-\frac{2}{3}\left(-21\right)+\frac{1}{3}\times 12\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\18\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=15,y=18$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$x-2y=-21,2x-y=12$$

x आनी 2x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$2x+2\left(-2\right)y=2\left(-21\right),2x-y=12$$

सोंपें करचें.

$$2x-4y=-42,2x-y=12$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 2x-4y=-42 तल्यान 2x-y=12 वजा करचो.

$$2x-2x-4y+y=-42-12$$

-2x कडेन 2x ची बेरीज करची. अटी 2x आनी -2x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-4y+y=-42-12$$

y कडेन -4y ची बेरीज करची.

$$-3y=-42-12$$

-12 कडेन -42 ची बेरीज करची.

$$-3y=-54$$

दोनुय कुशींक -3 न भाग लावचो.

$$y=18$$

2x-y=12 त y खातीर 18 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$2x-18=12$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 18 ची बेरीज करची.

$$2x=30$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=15$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=15,y=18$$