सोडोवचें {c}{x+y=8}{40x+55y=410}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 8 } \\ { 40 x + 55 y = 410 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=2$$

$$y=6$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$x+y=8,40x+55y=410$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$x+y=8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$x=-y+8$$

40x+55y=410 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -y+8 बदलपी घेवचो.

$$40\left(-y+8\right)+55y=410$$

-y+8क 40 फावटी गुणचें.

$$-40y+320+55y=410$$

55y कडेन -40y ची बेरीज करची.

$$15y+320=410$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 320 वजा करचें.

$$15y=90$$

दोनुय कुशींक 15 न भाग लावचो.

$$y=6$$

x=-y+8 त y खातीर 6 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-6+8$$

-6 कडेन 8 ची बेरीज करची.

$$x=2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=2,y=6$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$x+y=8,40x+55y=410$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{55}{55-40}&-\frac{1}{55-40}\\-\frac{40}{55-40}&\frac{1}{55-40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{3}&-\frac{1}{15}\\-\frac{8}{3}&\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{3}\times 8-\frac{1}{15}\times 410\\-\frac{8}{3}\times 8+\frac{1}{15}\times 410\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=2,y=6$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$x+y=8,40x+55y=410$$

x आनी 40x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 40 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$40x+40y=40\times 8,40x+55y=410$$

सोंपें करचें.

$$40x+40y=320,40x+55y=410$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 40x+40y=320 तल्यान 40x+55y=410 वजा करचो.

$$40x-40x+40y-55y=320-410$$

-40x कडेन 40x ची बेरीज करची. अटी 40x आनी -40x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$40y-55y=320-410$$

-55y कडेन 40y ची बेरीज करची.

$$-15y=320-410$$

-410 कडेन 320 ची बेरीज करची.

$$-15y=-90$$

दोनुय कुशींक -15 न भाग लावचो.

$$y=6$$

40x+55y=410 त y खातीर 6 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$40x+55\times 6=410$$

6क 55 फावटी गुणचें.

$$40x+330=410$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 330 वजा करचें.

$$40x=80$$

दोनुय कुशींक 40 न भाग लावचो.

$$x=2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=2,y=6$$