सोडोवचें {c}{x+y=64}{12x+26y=19}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 64 } \\ { 12 x + 26 y = 19 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{235}{2} = 117\frac{1}{2} = 117.5$$

$$y = -\frac{107}{2} = -53\frac{1}{2} = -53.5$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$x+y=64,12x+26y=19$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$x+y=64$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$x=-y+64$$

12x+26y=19 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -y+64 बदलपी घेवचो.

$$12\left(-y+64\right)+26y=19$$

-y+64क 12 फावटी गुणचें.

$$-12y+768+26y=19$$

26y कडेन -12y ची बेरीज करची.

$$14y+768=19$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 768 वजा करचें.

$$14y=-749$$

दोनुय कुशींक 14 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{107}{2}$$

x=-y+64 त y खातीर -\frac{107}{2} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\left(-\frac{107}{2}\right)+64$$

-\frac{107}{2}क -1 फावटी गुणचें.

$$x=\frac{107}{2}+64$$

\frac{107}{2} कडेन 64 ची बेरीज करची.

$$x=\frac{235}{2}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{235}{2},y=-\frac{107}{2}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$x+y=64,12x+26y=19$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{26}{26-12}&-\frac{1}{26-12}\\-\frac{12}{26-12}&\frac{1}{26-12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{7}&-\frac{1}{14}\\-\frac{6}{7}&\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{7}\times 64-\frac{1}{14}\times 19\\-\frac{6}{7}\times 64+\frac{1}{14}\times 19\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{235}{2}\\-\frac{107}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{235}{2},y=-\frac{107}{2}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$x+y=64,12x+26y=19$$

x आनी 12x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 12 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$12x+12y=12\times 64,12x+26y=19$$

सोंपें करचें.

$$12x+12y=768,12x+26y=19$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 12x+12y=768 तल्यान 12x+26y=19 वजा करचो.

$$12x-12x+12y-26y=768-19$$

-12x कडेन 12x ची बेरीज करची. अटी 12x आनी -12x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$12y-26y=768-19$$

-26y कडेन 12y ची बेरीज करची.

$$-14y=768-19$$

-19 कडेन 768 ची बेरीज करची.

$$-14y=749$$

दोनुय कुशींक -14 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{107}{2}$$

12x+26y=19 त y खातीर -\frac{107}{2} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$12x+26\left(-\frac{107}{2}\right)=19$$

-\frac{107}{2}क 26 फावटी गुणचें.

$$12x-1391=19$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 1391 ची बेरीज करची.

$$12x=1410$$

दोनुय कुशींक 12 न भाग लावचो.

$$x=\frac{235}{2}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{235}{2},y=-\frac{107}{2}$$