सोडोवचें {c}{x+y=500}{50x+80y=28000}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 500 } \\ { 50 x + 80 y = 28000 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=400$$

$$y=100$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$x+y=500,50x+80y=28000$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$x+y=500$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$x=-y+500$$

50x+80y=28000 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -y+500 बदलपी घेवचो.

$$50\left(-y+500\right)+80y=28000$$

-y+500क 50 फावटी गुणचें.

$$-50y+25000+80y=28000$$

80y कडेन -50y ची बेरीज करची.

$$30y+25000=28000$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 25000 वजा करचें.

$$30y=3000$$

दोनुय कुशींक 30 न भाग लावचो.

$$y=100$$

x=-y+500 त y खातीर 100 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-100+500$$

-100 कडेन 500 ची बेरीज करची.

$$x=400$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=400,y=100$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$x+y=500,50x+80y=28000$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{80-50}&-\frac{1}{80-50}\\-\frac{50}{80-50}&\frac{1}{80-50}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}&-\frac{1}{30}\\-\frac{5}{3}&\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\times 500-\frac{1}{30}\times 28000\\-\frac{5}{3}\times 500+\frac{1}{30}\times 28000\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}400\\100\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=400,y=100$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$x+y=500,50x+80y=28000$$

x आनी 50x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 50 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$50x+50y=50\times 500,50x+80y=28000$$

सोंपें करचें.

$$50x+50y=25000,50x+80y=28000$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 50x+50y=25000 तल्यान 50x+80y=28000 वजा करचो.

$$50x-50x+50y-80y=25000-28000$$

-50x कडेन 50x ची बेरीज करची. अटी 50x आनी -50x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$50y-80y=25000-28000$$

-80y कडेन 50y ची बेरीज करची.

$$-30y=25000-28000$$

-28000 कडेन 25000 ची बेरीज करची.

$$-30y=-3000$$

दोनुय कुशींक -30 न भाग लावचो.

$$y=100$$

50x+80y=28000 त y खातीर 100 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$50x+80\times 100=28000$$

100क 80 फावटी गुणचें.

$$50x+8000=28000$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 8000 वजा करचें.

$$50x=20000$$

दोनुय कुशींक 50 न भाग लावचो.

$$x=400$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=400,y=100$$