सोडोवचें {c}{x+y=414}{55x+32y=22264}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 414 } \\ { 55 x + 32 y = 22264 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=392$$

$$y=22$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$x+y=414,55x+32y=22264$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$x+y=414$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$x=-y+414$$

55x+32y=22264 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -y+414 बदलपी घेवचो.

$$55\left(-y+414\right)+32y=22264$$

-y+414क 55 फावटी गुणचें.

$$-55y+22770+32y=22264$$

32y कडेन -55y ची बेरीज करची.

$$-23y+22770=22264$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 22770 वजा करचें.

$$-23y=-506$$

दोनुय कुशींक -23 न भाग लावचो.

$$y=22$$

x=-y+414 त y खातीर 22 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-22+414$$

-22 कडेन 414 ची बेरीज करची.

$$x=392$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=392,y=22$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$x+y=414,55x+32y=22264$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\55&32\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}414\\22264\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\55&32\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\55&32\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\55&32\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\55&32\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}414\\22264\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\55&32\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}414\\22264\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\55&32\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}414\\22264\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{32}{32-55}&-\frac{1}{32-55}\\-\frac{55}{32-55}&\frac{1}{32-55}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}414\\22264\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{32}{23}&\frac{1}{23}\\\frac{55}{23}&-\frac{1}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}414\\22264\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{32}{23}\times 414+\frac{1}{23}\times 22264\\\frac{55}{23}\times 414-\frac{1}{23}\times 22264\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}392\\22\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=392,y=22$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$x+y=414,55x+32y=22264$$

x आनी 55x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 55 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$55x+55y=55\times 414,55x+32y=22264$$

सोंपें करचें.

$$55x+55y=22770,55x+32y=22264$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 55x+55y=22770 तल्यान 55x+32y=22264 वजा करचो.

$$55x-55x+55y-32y=22770-22264$$

-55x कडेन 55x ची बेरीज करची. अटी 55x आनी -55x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$55y-32y=22770-22264$$

-32y कडेन 55y ची बेरीज करची.

$$23y=22770-22264$$

-22264 कडेन 22770 ची बेरीज करची.

$$23y=506$$

दोनुय कुशींक 23 न भाग लावचो.

$$y=22$$

55x+32y=22264 त y खातीर 22 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$55x+32\times 22=22264$$

22क 32 फावटी गुणचें.

$$55x+704=22264$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 704 वजा करचें.

$$55x=21560$$

दोनुय कुशींक 55 न भाग लावचो.

$$x=392$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=392,y=22$$