सोडोवचें {c}{x+y=122}{(y/2-11)-(x-11/2)=18}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 122 } \\ { ( \frac { y } { 2 } - 11 ) - ( \frac { x - 11 } { 2 } ) = 18 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{75}{2} = 37\frac{1}{2} = 37.5$$

$$y = \frac{169}{2} = 84\frac{1}{2} = 84.5$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. 2 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक गुणाकार करचो.

$$y-22-\left(x-11\right)=36$$

x-11 चो विरोधी सोदूंक, दरेक सज्ञेचो विरोधी सोदचो.

$$y-22-x+11=36$$

-11 मेळोवंक -22 आनी 11 ची बेरीज करची.

$$y-11-x=36$$

दोनूय वटांनी 11 जोडचे.

$$y-x=36+11$$

47 मेळोवंक 36 आनी 11 ची बेरीज करची.

$$y-x=47$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$x+y=122,-x+y=47$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$x+y=122$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$x=-y+122$$

-x+y=47 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -y+122 बदलपी घेवचो.

$$-\left(-y+122\right)+y=47$$

-y+122क -1 फावटी गुणचें.

$$y-122+y=47$$

y कडेन y ची बेरीज करची.

$$2y-122=47$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 122 ची बेरीज करची.

$$2y=169$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$y=\frac{169}{2}$$

x=-y+122 त y खातीर \frac{169}{2} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{169}{2}+122$$

-\frac{169}{2} कडेन 122 ची बेरीज करची.

$$x=\frac{75}{2}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{75}{2},y=\frac{169}{2}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. 2 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक गुणाकार करचो.

$$y-22-\left(x-11\right)=36$$

x-11 चो विरोधी सोदूंक, दरेक सज्ञेचो विरोधी सोदचो.

$$y-22-x+11=36$$

-11 मेळोवंक -22 आनी 11 ची बेरीज करची.

$$y-11-x=36$$

दोनूय वटांनी 11 जोडचे.

$$y-x=36+11$$

47 मेळोवंक 36 आनी 11 ची बेरीज करची.

$$y-x=47$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$x+y=122,-x+y=47$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 122-\frac{1}{2}\times 47\\\frac{1}{2}\times 122+\frac{1}{2}\times 47\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{75}{2}\\\frac{169}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{75}{2},y=\frac{169}{2}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. 2 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक गुणाकार करचो.

$$y-22-\left(x-11\right)=36$$

x-11 चो विरोधी सोदूंक, दरेक सज्ञेचो विरोधी सोदचो.

$$y-22-x+11=36$$

-11 मेळोवंक -22 आनी 11 ची बेरीज करची.

$$y-11-x=36$$

दोनूय वटांनी 11 जोडचे.

$$y-x=36+11$$

47 मेळोवंक 36 आनी 11 ची बेरीज करची.

$$y-x=47$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$x+y=122,-x+y=47$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून x+y=122 तल्यान -x+y=47 वजा करचो.

$$x+x+y-y=122-47$$

-y कडेन y ची बेरीज करची. अटी y आनी -y रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$x+x=122-47$$

x कडेन x ची बेरीज करची.

$$2x=122-47$$

-47 कडेन 122 ची बेरीज करची.

$$2x=75$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{75}{2}$$

-x+y=47 त x खातीर \frac{75}{2} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-\frac{75}{2}+y=47$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{75}{2} ची बेरीज करची.

$$y=\frac{169}{2}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{75}{2},y=\frac{169}{2}$$