सोडोवचें {c}{x+2y=50}{2x+y=40}

$$\left. \begin{array} { c } { x + 2 y = 50 } \\ { 2 x + y = 40 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=10$$

$$y=20$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$x+2y=50,2x+y=40$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$x+2y=50$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2y वजा करचें.

$$x=-2y+50$$

2x+y=40 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -2y+50 बदलपी घेवचो.

$$2\left(-2y+50\right)+y=40$$

-2y+50क 2 फावटी गुणचें.

$$-4y+100+y=40$$

y कडेन -4y ची बेरीज करची.

$$-3y+100=40$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 100 वजा करचें.

$$-3y=-60$$

दोनुय कुशींक -3 न भाग लावचो.

$$y=20$$

x=-2y+50 त y खातीर 20 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-2\times 20+50$$

20क -2 फावटी गुणचें.

$$x=-40+50$$

-40 कडेन 50 ची बेरीज करची.

$$x=10$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=10,y=20$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$x+2y=50,2x+y=40$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\40\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\40\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\40\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\40\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\times 2}&-\frac{2}{1-2\times 2}\\-\frac{2}{1-2\times 2}&\frac{1}{1-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\40\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\40\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 50+\frac{2}{3}\times 40\\\frac{2}{3}\times 50-\frac{1}{3}\times 40\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=10,y=20$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$x+2y=50,2x+y=40$$

x आनी 2x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$2x+2\times 2y=2\times 50,2x+y=40$$

सोंपें करचें.

$$2x+4y=100,2x+y=40$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 2x+4y=100 तल्यान 2x+y=40 वजा करचो.

$$2x-2x+4y-y=100-40$$

-2x कडेन 2x ची बेरीज करची. अटी 2x आनी -2x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$4y-y=100-40$$

-y कडेन 4y ची बेरीज करची.

$$3y=100-40$$

-40 कडेन 100 ची बेरीज करची.

$$3y=60$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$y=20$$

2x+y=40 त y खातीर 20 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$2x+20=40$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 20 वजा करचें.

$$2x=20$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=10$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=10,y=20$$