सोडोवचें {c}{3x+y+5=0}{-2x-y+1=0}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + y + 5 = 0 } \\ { - 2 x - y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-6$$

$$y=13$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$3x+y+5=0,-2x-y+1=0$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$3x+y+5=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5 वजा करचें.

$$3x+y=-5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$3x=-y-5$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y-5\right)$$

-y-5क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{1}{3}y-\frac{5}{3}$$

-2x-y+1=0 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-y-5}{3} बदलपी घेवचो.

$$-2\left(-\frac{1}{3}y-\frac{5}{3}\right)-y+1=0$$

\frac{-y-5}{3}क -2 फावटी गुणचें.

$$\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}-y+1=0$$

-y कडेन \frac{2y}{3} ची बेरीज करची.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}+1=0$$

1 कडेन \frac{10}{3} ची बेरीज करची.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{13}{3}=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{13}{3} वजा करचें.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{13}{3}$$

दोनूय कुशीनीं -3 न गुणचें.

$$y=13$$

x=-\frac{1}{3}y-\frac{5}{3} त y खातीर 13 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{1}{3}\times 13-\frac{5}{3}$$

13क -\frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-13-5}{3}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{13}{3} क -\frac{5}{3} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-6$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-6,y=13$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$3x+y+5=0,-2x-y+1=0$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\-2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5-1\\-2\left(-5\right)-3\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\13\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-6,y=13$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$3x+y+5=0,-2x-y+1=0$$

3x आनी -2x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न गुणचें.

$$-2\times 3x-2y-2\times 5=0,3\left(-2\right)x+3\left(-1\right)y+3=0$$

सोंपें करचें.

$$-6x-2y-10=0,-6x-3y+3=0$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -6x-2y-10=0 तल्यान -6x-3y+3=0 वजा करचो.

$$-6x+6x-2y+3y-10-3=0$$

6x कडेन -6x ची बेरीज करची. अटी -6x आनी 6x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-2y+3y-10-3=0$$

3y कडेन -2y ची बेरीज करची.

$$y-10-3=0$$

-3 कडेन -10 ची बेरीज करची.

$$y-13=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 13 ची बेरीज करची.

$$y=13$$

-2x-y+1=0 त y खातीर 13 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-2x-13+1=0$$

1 कडेन -13 ची बेरीज करची.

$$-2x-12=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 12 ची बेरीज करची.

$$-2x=12$$

दोनुय कुशींक -2 न भाग लावचो.

$$x=-6$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-6,y=13$$