सोडोवचें {c}{3x+2y=32}{365x+226y=267.6}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + 2 y = 32 } \\ { 365 x + 226 y = 267.6 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = -\frac{8371}{65} = -128\frac{51}{65} \approx -128.784615385$$

$$y = \frac{27193}{130} = 209\frac{23}{130} \approx 209.176923077$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$3x+2y=32,365x+226y=267.6$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$3x+2y=32$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2y वजा करचें.

$$3x=-2y+32$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+32\right)$$

-2y+32क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}$$

365x+226y=267.6 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-2y+32}{3} बदलपी घेवचो.

$$365\left(-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}\right)+226y=267.6$$

\frac{-2y+32}{3}क 365 फावटी गुणचें.

$$-\frac{730}{3}y+\frac{11680}{3}+226y=267.6$$

226y कडेन -\frac{730y}{3} ची बेरीज करची.

$$-\frac{52}{3}y+\frac{11680}{3}=267.6$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{11680}{3} वजा करचें.

$$-\frac{52}{3}y=-\frac{54386}{15}$$

-\frac{52}{3} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=\frac{27193}{130}$$

x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3} त y खातीर \frac{27193}{130} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{27193}{130}+\frac{32}{3}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{27193}{130} क -\frac{2}{3} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{27193}{195}+\frac{32}{3}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{27193}{195} क \frac{32}{3} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{8371}{65}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{8371}{65},y=\frac{27193}{130}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$3x+2y=32,365x+226y=267.6$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{226}{3\times 226-2\times 365}&-\frac{2}{3\times 226-2\times 365}\\-\frac{365}{3\times 226-2\times 365}&\frac{3}{3\times 226-2\times 365}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{113}{26}&\frac{1}{26}\\\frac{365}{52}&-\frac{3}{52}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{113}{26}\times 32+\frac{1}{26}\times 267.6\\\frac{365}{52}\times 32-\frac{3}{52}\times 267.6\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8371}{65}\\\frac{27193}{130}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-\frac{8371}{65},y=\frac{27193}{130}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$3x+2y=32,365x+226y=267.6$$

3x आनी 365x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 365 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न गुणचें.

$$365\times 3x+365\times 2y=365\times 32,3\times 365x+3\times 226y=3\times 267.6$$

सोंपें करचें.

$$1095x+730y=11680,1095x+678y=802.8$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 1095x+730y=11680 तल्यान 1095x+678y=802.8 वजा करचो.

$$1095x-1095x+730y-678y=11680-802.8$$

-1095x कडेन 1095x ची बेरीज करची. अटी 1095x आनी -1095x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$730y-678y=11680-802.8$$

-678y कडेन 730y ची बेरीज करची.

$$52y=11680-802.8$$

-802.8 कडेन 11680 ची बेरीज करची.

$$52y=10877.2$$

दोनुय कुशींक 52 न भाग लावचो.

$$y=\frac{27193}{130}$$

365x+226y=267.6 त y खातीर \frac{27193}{130} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$365x+226\times \frac{27193}{130}=267.6$$

\frac{27193}{130}क 226 फावटी गुणचें.

$$365x+\frac{3072809}{65}=267.6$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{3072809}{65} वजा करचें.

$$365x=-\frac{611083}{13}$$

दोनुय कुशींक 365 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{8371}{65}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{8371}{65},y=\frac{27193}{130}$$