सोडोवचें {c}{2.7x+3.1y=42.5}{x+y=15}

$$\left. \begin{array} { c } { 2.7 x + 3.1 y = 42.5 } \\ { x + y = 15 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=10$$

$$y=5$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2.7x+3.1y=42.5,x+y=15$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2.7x+3.1y=42.5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{31y}{10} वजा करचें.

$$2.7x=-3.1y+42.5$$

2.7 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$x=\frac{10}{27}\left(-3.1y+42.5\right)$$

-\frac{31y}{10}+42.5क \frac{10}{27} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{31}{27}y+\frac{425}{27}$$

x+y=15 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-31y+425}{27} बदलपी घेवचो.

$$-\frac{31}{27}y+\frac{425}{27}+y=15$$

y कडेन -\frac{31y}{27} ची बेरीज करची.

$$-\frac{4}{27}y+\frac{425}{27}=15$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{425}{27} वजा करचें.

$$-\frac{4}{27}y=-\frac{20}{27}$$

-\frac{4}{27} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=5$$

x=-\frac{31}{27}y+\frac{425}{27} त y खातीर 5 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{31}{27}\times 5+\frac{425}{27}$$

5क -\frac{31}{27} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-155+425}{27}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{155}{27} क \frac{425}{27} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=10$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=10,y=5$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2.7x+3.1y=42.5,x+y=15$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2.7-3.1}&-\frac{3.1}{2.7-3.1}\\-\frac{1}{2.7-3.1}&\frac{2.7}{2.7-3.1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2.5&7.75\\2.5&-6.75\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2.5\times 42.5+7.75\times 15\\2.5\times 42.5-6.75\times 15\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=10,y=5$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2.7x+3.1y=42.5,x+y=15$$

\frac{27x}{10} आनी x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2.7 न गुणचें.

$$2.7x+3.1y=42.5,2.7x+2.7y=2.7\times 15$$

सोंपें करचें.

$$2.7x+3.1y=42.5,2.7x+2.7y=40.5$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 2.7x+3.1y=42.5 तल्यान 2.7x+2.7y=40.5 वजा करचो.

$$2.7x-2.7x+3.1y-2.7y=\frac{85-81}{2}$$

-\frac{27x}{10} कडेन \frac{27x}{10} ची बेरीज करची. अटी \frac{27x}{10} आनी -\frac{27x}{10} रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$3.1y-2.7y=\frac{85-81}{2}$$

-\frac{27y}{10} कडेन \frac{31y}{10} ची बेरीज करची.

$$0.4y=\frac{85-81}{2}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -40.5 क 42.5 ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$0.4y=2$$

0.4 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=5$$

x+y=15 त y खातीर 5 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x+5=15$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5 वजा करचें.

$$x=10$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=10,y=5$$