सोडोवचें {c}{2x+7y=77}{x-2y=2}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 7 y = 77 } \\ { x - 2 y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{168}{11} = 15\frac{3}{11} \approx 15.272727273$$

$$y = \frac{73}{11} = 6\frac{7}{11} \approx 6.636363636$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x+7y=77,x-2y=2$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x+7y=77$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 7y वजा करचें.

$$2x=-7y+77$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(-7y+77\right)$$

-7y+77क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{7}{2}y+\frac{77}{2}$$

x-2y=2 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-7y+77}{2} बदलपी घेवचो.

$$-\frac{7}{2}y+\frac{77}{2}-2y=2$$

-2y कडेन -\frac{7y}{2} ची बेरीज करची.

$$-\frac{11}{2}y+\frac{77}{2}=2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{77}{2} वजा करचें.

$$-\frac{11}{2}y=-\frac{73}{2}$$

-\frac{11}{2} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=\frac{73}{11}$$

x=-\frac{7}{2}y+\frac{77}{2} त y खातीर \frac{73}{11} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{7}{2}\times \frac{73}{11}+\frac{77}{2}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{73}{11} क -\frac{7}{2} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{511}{22}+\frac{77}{2}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{511}{22} क \frac{77}{2} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{168}{11}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{168}{11},y=\frac{73}{11}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x+7y=77,x-2y=2$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-7}&-\frac{7}{2\left(-2\right)-7}\\-\frac{1}{2\left(-2\right)-7}&\frac{2}{2\left(-2\right)-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{7}{11}\\\frac{1}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 77+\frac{7}{11}\times 2\\\frac{1}{11}\times 77-\frac{2}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{168}{11}\\\frac{73}{11}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{168}{11},y=\frac{73}{11}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x+7y=77,x-2y=2$$

2x आनी x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$2x+7y=77,2x+2\left(-2\right)y=2\times 2$$

सोंपें करचें.

$$2x+7y=77,2x-4y=4$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 2x+7y=77 तल्यान 2x-4y=4 वजा करचो.

$$2x-2x+7y+4y=77-4$$

-2x कडेन 2x ची बेरीज करची. अटी 2x आनी -2x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$7y+4y=77-4$$

4y कडेन 7y ची बेरीज करची.

$$11y=77-4$$

-4 कडेन 77 ची बेरीज करची.

$$11y=73$$

दोनुय कुशींक 11 न भाग लावचो.

$$y=\frac{73}{11}$$

x-2y=2 त y खातीर \frac{73}{11} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x-2\times \frac{73}{11}=2$$

\frac{73}{11}क -2 फावटी गुणचें.

$$x-\frac{146}{11}=2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{146}{11} ची बेरीज करची.

$$x=\frac{168}{11}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{168}{11},y=\frac{73}{11}$$