सोडोवचें {c}{10x+14y=460}{x+y=40}

$$\left. \begin{array} { c } { 10 x + 14 y = 460 } \\ { x + y = 40 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=25$$

$$y=15$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$10x+14y=460,x+y=40$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$10x+14y=460$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 14y वजा करचें.

$$10x=-14y+460$$

दोनुय कुशींक 10 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{10}\left(-14y+460\right)$$

-14y+460क \frac{1}{10} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{7}{5}y+46$$

x+y=40 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{7y}{5}+46 बदलपी घेवचो.

$$-\frac{7}{5}y+46+y=40$$

y कडेन -\frac{7y}{5} ची बेरीज करची.

$$-\frac{2}{5}y+46=40$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 46 वजा करचें.

$$-\frac{2}{5}y=-6$$

-\frac{2}{5} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=15$$

x=-\frac{7}{5}y+46 त y खातीर 15 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{7}{5}\times 15+46$$

15क -\frac{7}{5} फावटी गुणचें.

$$x=-21+46$$

-21 कडेन 46 ची बेरीज करची.

$$x=25$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=25,y=15$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$10x+14y=460,x+y=40$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10-14}&-\frac{14}{10-14}\\-\frac{1}{10-14}&\frac{10}{10-14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{7}{2}\\\frac{1}{4}&-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 460+\frac{7}{2}\times 40\\\frac{1}{4}\times 460-\frac{5}{2}\times 40\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=25,y=15$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$10x+14y=460,x+y=40$$

10x आनी x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 10 न गुणचें.

$$10x+14y=460,10x+10y=10\times 40$$

सोंपें करचें.

$$10x+14y=460,10x+10y=400$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 10x+14y=460 तल्यान 10x+10y=400 वजा करचो.

$$10x-10x+14y-10y=460-400$$

-10x कडेन 10x ची बेरीज करची. अटी 10x आनी -10x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$14y-10y=460-400$$

-10y कडेन 14y ची बेरीज करची.

$$4y=460-400$$

-400 कडेन 460 ची बेरीज करची.

$$4y=60$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$y=15$$

x+y=40 त y खातीर 15 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x+15=40$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 15 वजा करचें.

$$x=25$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=25,y=15$$