सोडोवचें {c}{0.9x+0.49y=605}{x+y=1000}

$$\left. \begin{array} { c } { 0.9 x + 0.49 y = 605 } \\ { x + y = 1000 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{11500}{41} = 280\frac{20}{41} \approx 280.487804878$$

$$y = \frac{29500}{41} = 719\frac{21}{41} \approx 719.512195122$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$0.9x+0.49y=605,x+y=1000$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$0.9x+0.49y=605$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{49y}{100} वजा करचें.

$$0.9x=-0.49y+605$$

0.9 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$x=\frac{10}{9}\left(-0.49y+605\right)$$

-\frac{49y}{100}+605क \frac{10}{9} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{49}{90}y+\frac{6050}{9}$$

x+y=1000 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{49y}{90}+\frac{6050}{9} बदलपी घेवचो.

$$-\frac{49}{90}y+\frac{6050}{9}+y=1000$$

y कडेन -\frac{49y}{90} ची बेरीज करची.

$$\frac{41}{90}y+\frac{6050}{9}=1000$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{6050}{9} वजा करचें.

$$\frac{41}{90}y=\frac{2950}{9}$$

\frac{41}{90} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=\frac{29500}{41}$$

x=-\frac{49}{90}y+\frac{6050}{9} त y खातीर \frac{29500}{41} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{49}{90}\times \frac{29500}{41}+\frac{6050}{9}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{29500}{41} क -\frac{49}{90} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{144550}{369}+\frac{6050}{9}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{144550}{369} क \frac{6050}{9} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{11500}{41}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{11500}{41},y=\frac{29500}{41}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$0.9x+0.49y=605,x+y=1000$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}0.9&0.49\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}605\\1000\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}0.9&0.49\\1&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.9&0.49\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.9&0.49\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.9&0.49\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}605\\1000\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.9&0.49\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}605\\1000\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.9&0.49\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}605\\1000\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{0.9-0.49}&-\frac{0.49}{0.9-0.49}\\-\frac{1}{0.9-0.49}&\frac{0.9}{0.9-0.49}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}605\\1000\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{100}{41}&-\frac{49}{41}\\-\frac{100}{41}&\frac{90}{41}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}605\\1000\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{100}{41}\times 605-\frac{49}{41}\times 1000\\-\frac{100}{41}\times 605+\frac{90}{41}\times 1000\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11500}{41}\\\frac{29500}{41}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{11500}{41},y=\frac{29500}{41}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$0.9x+0.49y=605,x+y=1000$$

\frac{9x}{10} आनी x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 0.9 न गुणचें.

$$0.9x+0.49y=605,0.9x+0.9y=0.9\times 1000$$

सोंपें करचें.

$$0.9x+0.49y=605,0.9x+0.9y=900$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 0.9x+0.49y=605 तल्यान 0.9x+0.9y=900 वजा करचो.

$$0.9x-0.9x+0.49y-0.9y=605-900$$

-\frac{9x}{10} कडेन \frac{9x}{10} ची बेरीज करची. अटी \frac{9x}{10} आनी -\frac{9x}{10} रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$0.49y-0.9y=605-900$$

-\frac{9y}{10} कडेन \frac{49y}{100} ची बेरीज करची.

$$-0.41y=605-900$$

-900 कडेन 605 ची बेरीज करची.

$$-0.41y=-295$$

-0.41 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=\frac{29500}{41}$$

x+y=1000 त y खातीर \frac{29500}{41} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x+\frac{29500}{41}=1000$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{29500}{41} वजा करचें.

$$x=\frac{11500}{41}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{11500}{41},y=\frac{29500}{41}$$