सोडोवचें {c}{-7x-3y=-20}{3x+6y=-15}

$$\left. \begin{array} { c } { - 7 x - 3 y = - 20 } \\ { 3 x + 6 y = - 15 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=5$$

$$y=-5$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$-7x-3y=-20,3x+6y=-15$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$-7x-3y=-20$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y ची बेरीज करची.

$$-7x=3y-20$$

दोनुय कुशींक -7 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{1}{7}\left(3y-20\right)$$

3y-20क -\frac{1}{7} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{3}{7}y+\frac{20}{7}$$

3x+6y=-15 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-3y+20}{7} बदलपी घेवचो.

$$3\left(-\frac{3}{7}y+\frac{20}{7}\right)+6y=-15$$

\frac{-3y+20}{7}क 3 फावटी गुणचें.

$$-\frac{9}{7}y+\frac{60}{7}+6y=-15$$

6y कडेन -\frac{9y}{7} ची बेरीज करची.

$$\frac{33}{7}y+\frac{60}{7}=-15$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{60}{7} वजा करचें.

$$\frac{33}{7}y=-\frac{165}{7}$$

\frac{33}{7} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-5$$

x=-\frac{3}{7}y+\frac{20}{7} त y खातीर -5 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{3}{7}\left(-5\right)+\frac{20}{7}$$

-5क -\frac{3}{7} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{15+20}{7}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{15}{7} क \frac{20}{7} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=5$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=5,y=-5$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$-7x-3y=-20,3x+6y=-15$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}-7&-3\\3&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-20\\-15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-7&-3\\3&6\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&-3\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&-3\\3&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-3\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-3\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-15\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-3\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{-7\times 6-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{-7\times 6-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{-7\times 6-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{7}{-7\times 6-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-20\\-15\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}&-\frac{1}{11}\\\frac{1}{11}&\frac{7}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-20\\-15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}\left(-20\right)-\frac{1}{11}\left(-15\right)\\\frac{1}{11}\left(-20\right)+\frac{7}{33}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=5,y=-5$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$-7x-3y=-20,3x+6y=-15$$

-7x आनी 3x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -7 न गुणचें.

$$3\left(-7\right)x+3\left(-3\right)y=3\left(-20\right),-7\times 3x-7\times 6y=-7\left(-15\right)$$

सोंपें करचें.

$$-21x-9y=-60,-21x-42y=105$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -21x-9y=-60 तल्यान -21x-42y=105 वजा करचो.

$$-21x+21x-9y+42y=-60-105$$

21x कडेन -21x ची बेरीज करची. अटी -21x आनी 21x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-9y+42y=-60-105$$

42y कडेन -9y ची बेरीज करची.

$$33y=-60-105$$

-105 कडेन -60 ची बेरीज करची.

$$33y=-165$$

दोनुय कुशींक 33 न भाग लावचो.

$$y=-5$$

3x+6y=-15 त y खातीर -5 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3x+6\left(-5\right)=-15$$

-5क 6 फावटी गुणचें.

$$3x-30=-15$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 30 ची बेरीज करची.

$$3x=15$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=5$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=5,y=-5$$