सोडोवचें {c}{-3x+5y=2}{x+10y=-24}

$$\left. \begin{array} { c } { - 3 x + 5 y = 2 } \\ { x + 10 y = - 24 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-4$$

$$y=-2$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$-3x+5y=2,x+10y=-24$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$-3x+5y=2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5y वजा करचें.

$$-3x=-5y+2$$

दोनुय कुशींक -3 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-5y+2\right)$$

-5y+2क -\frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{5}{3}y-\frac{2}{3}$$

x+10y=-24 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{5y-2}{3} बदलपी घेवचो.

$$\frac{5}{3}y-\frac{2}{3}+10y=-24$$

10y कडेन \frac{5y}{3} ची बेरीज करची.

$$\frac{35}{3}y-\frac{2}{3}=-24$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{2}{3} ची बेरीज करची.

$$\frac{35}{3}y=-\frac{70}{3}$$

\frac{35}{3} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-2$$

x=\frac{5}{3}y-\frac{2}{3} त y खातीर -2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{5}{3}\left(-2\right)-\frac{2}{3}$$

-2क \frac{5}{3} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-10-2}{3}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{10}{3} क -\frac{2}{3} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-4$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-4,y=-2$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$-3x+5y=2,x+10y=-24$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}-3&5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-24\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-3&5\\1&10\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-24\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-24\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{-3\times 10-5}&-\frac{5}{-3\times 10-5}\\-\frac{1}{-3\times 10-5}&-\frac{3}{-3\times 10-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-24\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{35}&\frac{3}{35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-24\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\times 2+\frac{1}{7}\left(-24\right)\\\frac{1}{35}\times 2+\frac{3}{35}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-4,y=-2$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$-3x+5y=2,x+10y=-24$$

-3x आनी x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -3 न गुणचें.

$$-3x+5y=2,-3x-3\times 10y=-3\left(-24\right)$$

सोंपें करचें.

$$-3x+5y=2,-3x-30y=72$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -3x+5y=2 तल्यान -3x-30y=72 वजा करचो.

$$-3x+3x+5y+30y=2-72$$

3x कडेन -3x ची बेरीज करची. अटी -3x आनी 3x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$5y+30y=2-72$$

30y कडेन 5y ची बेरीज करची.

$$35y=2-72$$

-72 कडेन 2 ची बेरीज करची.

$$35y=-70$$

दोनुय कुशींक 35 न भाग लावचो.

$$y=-2$$

x+10y=-24 त y खातीर -2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x+10\left(-2\right)=-24$$

-2क 10 फावटी गुणचें.

$$x-20=-24$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 20 ची बेरीज करची.

$$x=-4$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-4,y=-2$$