सोडोवचें {c}{-11x+12y=85}{17x-14y=-5}

$$\left. \begin{array} { c } { - 11 x + 12 y = 85 } \\ { 17 x - 14 y = - 5 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{113}{5} = 22\frac{3}{5} = 22.6$$

$$y = \frac{139}{5} = 27\frac{4}{5} = 27.8$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$-11x+12y=85,17x-14y=-5$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$-11x+12y=85$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 12y वजा करचें.

$$-11x=-12y+85$$

दोनुय कुशींक -11 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{1}{11}\left(-12y+85\right)$$

-12y+85क -\frac{1}{11} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{12}{11}y-\frac{85}{11}$$

17x-14y=-5 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{12y-85}{11} बदलपी घेवचो.

$$17\left(\frac{12}{11}y-\frac{85}{11}\right)-14y=-5$$

\frac{12y-85}{11}क 17 फावटी गुणचें.

$$\frac{204}{11}y-\frac{1445}{11}-14y=-5$$

-14y कडेन \frac{204y}{11} ची बेरीज करची.

$$\frac{50}{11}y-\frac{1445}{11}=-5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{1445}{11} ची बेरीज करची.

$$\frac{50}{11}y=\frac{1390}{11}$$

\frac{50}{11} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=\frac{139}{5}$$

x=\frac{12}{11}y-\frac{85}{11} त y खातीर \frac{139}{5} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{12}{11}\times \frac{139}{5}-\frac{85}{11}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{139}{5} क \frac{12}{11} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{1668}{55}-\frac{85}{11}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{1668}{55} क -\frac{85}{11} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{113}{5}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{113}{5},y=\frac{139}{5}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$-11x+12y=85,17x-14y=-5$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}-11&12\\17&-14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}85\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-11&12\\17&-14\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-11&12\\17&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11&12\\17&-14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&12\\17&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85\\-5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&12\\17&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85\\-5\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&12\\17&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{14}{-11\left(-14\right)-12\times 17}&-\frac{12}{-11\left(-14\right)-12\times 17}\\-\frac{17}{-11\left(-14\right)-12\times 17}&-\frac{11}{-11\left(-14\right)-12\times 17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}85\\-5\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{25}&\frac{6}{25}\\\frac{17}{50}&\frac{11}{50}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}85\\-5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{25}\times 85+\frac{6}{25}\left(-5\right)\\\frac{17}{50}\times 85+\frac{11}{50}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{113}{5}\\\frac{139}{5}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{113}{5},y=\frac{139}{5}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$-11x+12y=85,17x-14y=-5$$

-11x आनी 17x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 17 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -11 न गुणचें.

$$17\left(-11\right)x+17\times 12y=17\times 85,-11\times 17x-11\left(-14\right)y=-11\left(-5\right)$$

सोंपें करचें.

$$-187x+204y=1445,-187x+154y=55$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -187x+204y=1445 तल्यान -187x+154y=55 वजा करचो.

$$-187x+187x+204y-154y=1445-55$$

187x कडेन -187x ची बेरीज करची. अटी -187x आनी 187x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$204y-154y=1445-55$$

-154y कडेन 204y ची बेरीज करची.

$$50y=1445-55$$

-55 कडेन 1445 ची बेरीज करची.

$$50y=1390$$

दोनुय कुशींक 50 न भाग लावचो.

$$y=\frac{139}{5}$$

17x-14y=-5 त y खातीर \frac{139}{5} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$17x-14\times \frac{139}{5}=-5$$

\frac{139}{5}क -14 फावटी गुणचें.

$$17x-\frac{1946}{5}=-5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{1946}{5} ची बेरीज करची.

$$17x=\frac{1921}{5}$$

दोनुय कुशींक 17 न भाग लावचो.

$$x=\frac{113}{5}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{113}{5},y=\frac{139}{5}$$