सोडोवचें {l}{x/3+y/4=5/6}{3x+20y/5-frac{8y+1}{3}=frac{12x+16y}{15}}

$$\left\{ \begin{array}{l}{ \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = \frac { 5 } { 6 } }\\{ \frac { 3 x + 20 y } { 5 } - \frac { 8 y + 1 } { 3 } = \frac { 12 x + 16 y } { 15 } }\end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=1$$

$$y=2$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 12 वरवीं गुणाकार करच्यो, 3,4,6 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$4x+3y=10$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 15 वरवीं गुणाकार करच्यो, 5,3,15 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

3x+20y न 3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

8y+1 न -5 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

20y मेळोवंक 60y आनी -40y एकठांय करचें.

$$9x+20y-5=12x+16y$$

दोनूय कुशींतल्यान 12x वजा करचें.

$$9x+20y-5-12x=16y$$

-3x मेळोवंक 9x आनी -12x एकठांय करचें.

$$-3x+20y-5=16y$$

दोनूय कुशींतल्यान 16y वजा करचें.

$$-3x+20y-5-16y=0$$

4y मेळोवंक 20y आनी -16y एकठांय करचें.

$$-3x+4y-5=0$$

दोनूय वटांनी 5 जोडचे. किदेंय अदीक शुन्य तें दितां.

$$-3x+4y=5$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$4x+3y=10$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y वजा करचें.

$$4x=-3y+10$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+10\right)$$

-3y+10क \frac{1}{4} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}$$

-3x+4y=5 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{3y}{4}+\frac{5}{2} बदलपी घेवचो.

$$-3\left(-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}\right)+4y=5$$

-\frac{3y}{4}+\frac{5}{2}क -3 फावटी गुणचें.

$$\frac{9}{4}y-\frac{15}{2}+4y=5$$

4y कडेन \frac{9y}{4} ची बेरीज करची.

$$\frac{25}{4}y-\frac{15}{2}=5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{15}{2} ची बेरीज करची.

$$\frac{25}{4}y=\frac{25}{2}$$

\frac{25}{4} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=2$$

x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2} त y खातीर 2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{3}{4}\times 2+\frac{5}{2}$$

2क -\frac{3}{4} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-3+5}{2}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{3}{2} क \frac{5}{2} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=1,y=2$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 12 वरवीं गुणाकार करच्यो, 3,4,6 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$4x+3y=10$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 15 वरवीं गुणाकार करच्यो, 5,3,15 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

3x+20y न 3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

8y+1 न -5 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

20y मेळोवंक 60y आनी -40y एकठांय करचें.

$$9x+20y-5=12x+16y$$

दोनूय कुशींतल्यान 12x वजा करचें.

$$9x+20y-5-12x=16y$$

-3x मेळोवंक 9x आनी -12x एकठांय करचें.

$$-3x+20y-5=16y$$

दोनूय कुशींतल्यान 16y वजा करचें.

$$-3x+20y-5-16y=0$$

4y मेळोवंक 20y आनी -16y एकठांय करचें.

$$-3x+4y-5=0$$

दोनूय वटांनी 5 जोडचे. किदेंय अदीक शुन्य तें दितां.

$$-3x+4y=5$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{4\times 4-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4\times 4-3\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 4-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&-\frac{3}{25}\\\frac{3}{25}&\frac{4}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 10-\frac{3}{25}\times 5\\\frac{3}{25}\times 10+\frac{4}{25}\times 5\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=1,y=2$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 12 वरवीं गुणाकार करच्यो, 3,4,6 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$4x+3y=10$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 15 वरवीं गुणाकार करच्यो, 5,3,15 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

3x+20y न 3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

8y+1 न -5 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

20y मेळोवंक 60y आनी -40y एकठांय करचें.

$$9x+20y-5=12x+16y$$

दोनूय कुशींतल्यान 12x वजा करचें.

$$9x+20y-5-12x=16y$$

-3x मेळोवंक 9x आनी -12x एकठांय करचें.

$$-3x+20y-5=16y$$

दोनूय कुशींतल्यान 16y वजा करचें.

$$-3x+20y-5-16y=0$$

4y मेळोवंक 20y आनी -16y एकठांय करचें.

$$-3x+4y-5=0$$

दोनूय वटांनी 5 जोडचे. किदेंय अदीक शुन्य तें दितां.

$$-3x+4y=5$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

4x आनी -3x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न गुणचें.

$$-3\times 4x-3\times 3y=-3\times 10,4\left(-3\right)x+4\times 4y=4\times 5$$

सोंपें करचें.

$$-12x-9y=-30,-12x+16y=20$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -12x-9y=-30 तल्यान -12x+16y=20 वजा करचो.

$$-12x+12x-9y-16y=-30-20$$

12x कडेन -12x ची बेरीज करची. अटी -12x आनी 12x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-9y-16y=-30-20$$

-16y कडेन -9y ची बेरीज करची.

$$-25y=-30-20$$

-20 कडेन -30 ची बेरीज करची.

$$-25y=-50$$

दोनुय कुशींक -25 न भाग लावचो.

$$y=2$$

-3x+4y=5 त y खातीर 2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-3x+4\times 2=5$$

2क 4 फावटी गुणचें.

$$-3x+8=5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 8 वजा करचें.

$$-3x=-3$$

दोनुय कुशींक -3 न भाग लावचो.

$$x=1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=1,y=2$$