सोडोवचें {r}{x+4y=-6}{4x+5y=9}

$$\left\{ \begin{array} { r } { x + 4 y = - 6 } \\ { 4 x + 5 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=6$$

$$y=-3$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$x+4y=-6,4x+5y=9$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$x+4y=-6$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4y वजा करचें.

$$x=-4y-6$$

4x+5y=9 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -4y-6 बदलपी घेवचो.

$$4\left(-4y-6\right)+5y=9$$

-4y-6क 4 फावटी गुणचें.

$$-16y-24+5y=9$$

5y कडेन -16y ची बेरीज करची.

$$-11y-24=9$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 24 ची बेरीज करची.

$$-11y=33$$

दोनुय कुशींक -11 न भाग लावचो.

$$y=-3$$

x=-4y-6 त y खातीर -3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-4\left(-3\right)-6$$

-3क -4 फावटी गुणचें.

$$x=12-6$$

12 कडेन -6 ची बेरीज करची.

$$x=6$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=6,y=-3$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$x+4y=-6,4x+5y=9$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-4\times 4}&-\frac{4}{5-4\times 4}\\-\frac{4}{5-4\times 4}&\frac{1}{5-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{11}&\frac{4}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{11}\left(-6\right)+\frac{4}{11}\times 9\\\frac{4}{11}\left(-6\right)-\frac{1}{11}\times 9\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=6,y=-3$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$x+4y=-6,4x+5y=9$$

x आनी 4x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$4x+4\times 4y=4\left(-6\right),4x+5y=9$$

सोंपें करचें.

$$4x+16y=-24,4x+5y=9$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 4x+16y=-24 तल्यान 4x+5y=9 वजा करचो.

$$4x-4x+16y-5y=-24-9$$

-4x कडेन 4x ची बेरीज करची. अटी 4x आनी -4x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$16y-5y=-24-9$$

-5y कडेन 16y ची बेरीज करची.

$$11y=-24-9$$

-9 कडेन -24 ची बेरीज करची.

$$11y=-33$$

दोनुय कुशींक 11 न भाग लावचो.

$$y=-3$$

4x+5y=9 त y खातीर -3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$4x+5\left(-3\right)=9$$

-3क 5 फावटी गुणचें.

$$4x-15=9$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 15 ची बेरीज करची.

$$4x=24$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x=6$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=6,y=-3$$