सोडोवचें {r}{u-30v=-65}{-3u+80v=165}

$$\left\{ \begin{array} { r } { u - 30 v = - 65 } \\ { - 3 u + 80 v = 165 } \end{array} \right.$$

u, v खातीर सोडोवचें

$$u=25$$

$$v=3$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक u वेगळावन u खातीर तें सोडोवचें.

$$u-30v=-65$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 30v ची बेरीज करची.

$$u=30v-65$$

-3u+80v=165 ह्या दुस-या समिकरणांत u खातीर 30v-65 बदलपी घेवचो.

$$-3\left(30v-65\right)+80v=165$$

30v-65क -3 फावटी गुणचें.

$$-90v+195+80v=165$$

80v कडेन -90v ची बेरीज करची.

$$-10v+195=165$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 195 वजा करचें.

$$-10v=-30$$

दोनुय कुशींक -10 न भाग लावचो.

$$v=3$$

u=30v-65 त v खातीर 3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी u खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$u=30\times 3-65$$

3क 30 फावटी गुणचें.

$$u=90-65$$

90 कडेन -65 ची बेरीज करची.

$$u=25$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$u=25,v=3$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}&-\frac{-30}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8&-3\\-\frac{3}{10}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\left(-65\right)-3\times 165\\-\frac{3}{10}\left(-65\right)-\frac{1}{10}\times 165\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां u आनी v काडचीं.

$$u=25,v=3$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

u आनी -3u बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$-3u-3\left(-30\right)v=-3\left(-65\right),-3u+80v=165$$

सोंपें करचें.

$$-3u+90v=195,-3u+80v=165$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -3u+90v=195 तल्यान -3u+80v=165 वजा करचो.

$$-3u+3u+90v-80v=195-165$$

3u कडेन -3u ची बेरीज करची. अटी -3u आनी 3u रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$90v-80v=195-165$$

-80v कडेन 90v ची बेरीज करची.

$$10v=195-165$$

-165 कडेन 195 ची बेरीज करची.

$$10v=30$$

दोनुय कुशींक 10 न भाग लावचो.

$$v=3$$

-3u+80v=165 त v खातीर 3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी u खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-3u+80\times 3=165$$

3क 80 फावटी गुणचें.

$$-3u+240=165$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 240 वजा करचें.

$$-3u=-75$$

दोनुय कुशींक -3 न भाग लावचो.

$$u=25$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$u=25,v=3$$