सोडोवचें {r}{5p-q=7}{-2p+3q=5}

$$\left\{ \begin{array} { r } { 5 p - q = 7 } \\ { - 2 p + 3 q = 5 } \end{array} \right.$$

p, q खातीर सोडोवचें

$$p=2$$

$$q=3$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक p वेगळावन p खातीर तें सोडोवचें.

$$5p-q=7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान q ची बेरीज करची.

$$5p=q+7$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$p=\frac{1}{5}\left(q+7\right)$$

q+7क \frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$p=\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}$$

-2p+3q=5 ह्या दुस-या समिकरणांत p खातीर \frac{7+q}{5} बदलपी घेवचो.

$$-2\left(\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}\right)+3q=5$$

\frac{7+q}{5}क -2 फावटी गुणचें.

$$-\frac{2}{5}q-\frac{14}{5}+3q=5$$

3q कडेन -\frac{2q}{5} ची बेरीज करची.

$$\frac{13}{5}q-\frac{14}{5}=5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{14}{5} ची बेरीज करची.

$$\frac{13}{5}q=\frac{39}{5}$$

\frac{13}{5} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$q=3$$

p=\frac{1}{5}q+\frac{7}{5} त q खातीर 3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी p खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$p=\frac{1}{5}\times 3+\frac{7}{5}$$

3क \frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$p=\frac{3+7}{5}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{3}{5} क \frac{7}{5} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$p=2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$p=2,q=3$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{2}{13}&\frac{5}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}\times 7+\frac{1}{13}\times 5\\\frac{2}{13}\times 7+\frac{5}{13}\times 5\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां p आनी q काडचीं.

$$p=2,q=3$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

5p आनी -2p बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न गुणचें.

$$-2\times 5p-2\left(-1\right)q=-2\times 7,5\left(-2\right)p+5\times 3q=5\times 5$$

सोंपें करचें.

$$-10p+2q=-14,-10p+15q=25$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -10p+2q=-14 तल्यान -10p+15q=25 वजा करचो.

$$-10p+10p+2q-15q=-14-25$$

10p कडेन -10p ची बेरीज करची. अटी -10p आनी 10p रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$2q-15q=-14-25$$

-15q कडेन 2q ची बेरीज करची.

$$-13q=-14-25$$

-25 कडेन -14 ची बेरीज करची.

$$-13q=-39$$

दोनुय कुशींक -13 न भाग लावचो.

$$q=3$$

-2p+3q=5 त q खातीर 3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी p खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-2p+3\times 3=5$$

3क 3 फावटी गुणचें.

$$-2p+9=5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 9 वजा करचें.

$$-2p=-4$$

दोनुय कुशींक -2 न भाग लावचो.

$$p=2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$p=2,q=3$$