सोडोवचें {r}{4x-2y=6}{-2x+2y=8}

$$\left\{ \begin{array} { r } { 4 x - 2 y = 6 } \\ { - 2 x + 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=7$$

$$y=11$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$4x-2y=6,-2x+2y=8$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$4x-2y=6$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2y ची बेरीज करची.

$$4x=2y+6$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+6\right)$$

6+2yक \frac{1}{4} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

-2x+2y=8 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{3+y}{2} बदलपी घेवचो.

$$-2\left(\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)+2y=8$$

\frac{3+y}{2}क -2 फावटी गुणचें.

$$-y-3+2y=8$$

2y कडेन -y ची बेरीज करची.

$$y-3=8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3 ची बेरीज करची.

$$y=11$$

x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2} त y खातीर 11 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{1}{2}\times 11+\frac{3}{2}$$

11क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{11+3}{2}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{11}{2} क \frac{3}{2} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=7$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=7,y=11$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$4x-2y=6,-2x+2y=8$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 6+\frac{1}{2}\times 8\\\frac{1}{2}\times 6+8\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=7,y=11$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$4x-2y=6,-2x+2y=8$$

4x आनी -2x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न गुणचें.

$$-2\times 4x-2\left(-2\right)y=-2\times 6,4\left(-2\right)x+4\times 2y=4\times 8$$

सोंपें करचें.

$$-8x+4y=-12,-8x+8y=32$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -8x+4y=-12 तल्यान -8x+8y=32 वजा करचो.

$$-8x+8x+4y-8y=-12-32$$

8x कडेन -8x ची बेरीज करची. अटी -8x आनी 8x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$4y-8y=-12-32$$

-8y कडेन 4y ची बेरीज करची.

$$-4y=-12-32$$

-32 कडेन -12 ची बेरीज करची.

$$-4y=-44$$

दोनुय कुशींक -4 न भाग लावचो.

$$y=11$$

-2x+2y=8 त y खातीर 11 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-2x+2\times 11=8$$

11क 2 फावटी गुणचें.

$$-2x+22=8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 22 वजा करचें.

$$-2x=-14$$

दोनुय कुशींक -2 न भाग लावचो.

$$x=7$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=7,y=11$$