सोडोवचें {r}{2x-1/2+y-3/3=11/6}{-2x/5+frac{y-1}{10}=-frac{6}{5}}

$$\left\{ \begin{array} { r } { \frac { 2 x - 1 } { 2 } + \frac { y - 3 } { 3 } = \frac { 11 } { 6 } } \\ { - \frac { 2 x } { 5 } + \frac { y - 1 } { 10 } = - \frac { 6 } { 5 } } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=3$$

$$y=1$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 6 वरवीं गुणाकार करच्यो, 2,3,6 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$3\left(2x-1\right)+2\left(y-3\right)=11$$

2x-1 न 3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$6x-3+2\left(y-3\right)=11$$

y-3 न 2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$6x-3+2y-6=11$$

-9 मेळोवंक -3 आनी 6 वजा करचे.

$$6x-9+2y=11$$

दोनूय वटांनी 9 जोडचे.

$$6x+2y=11+9$$

20 मेळोवंक 11 आनी 9 ची बेरीज करची.

$$6x+2y=20$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 10 वरवीं गुणाकार करच्यो, 5,10 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$-2\times 2x+y-1=-12$$

-4 मेळोवंक -2 आनी 2 गुणचें.

$$-4x+y-1=-12$$

दोनूय वटांनी 1 जोडचे.

$$-4x+y=-12+1$$

-11 मेळोवंक -12 आनी 1 ची बेरीज करची.

$$-4x+y=-11$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$6x+2y=20,-4x+y=-11$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$6x+2y=20$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2y वजा करचें.

$$6x=-2y+20$$

दोनुय कुशींक 6 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{6}\left(-2y+20\right)$$

-2y+20क \frac{1}{6} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}$$

-4x+y=-11 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-y+10}{3} बदलपी घेवचो.

$$-4\left(-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}\right)+y=-11$$

\frac{-y+10}{3}क -4 फावटी गुणचें.

$$\frac{4}{3}y-\frac{40}{3}+y=-11$$

y कडेन \frac{4y}{3} ची बेरीज करची.

$$\frac{7}{3}y-\frac{40}{3}=-11$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{40}{3} ची बेरीज करची.

$$\frac{7}{3}y=\frac{7}{3}$$

\frac{7}{3} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=1$$

x=-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3} त y खातीर 1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{-1+10}{3}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{1}{3} क \frac{10}{3} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=3$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=3,y=1$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 6 वरवीं गुणाकार करच्यो, 2,3,6 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$3\left(2x-1\right)+2\left(y-3\right)=11$$

2x-1 न 3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$6x-3+2\left(y-3\right)=11$$

y-3 न 2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$6x-3+2y-6=11$$

-9 मेळोवंक -3 आनी 6 वजा करचे.

$$6x-9+2y=11$$

दोनूय वटांनी 9 जोडचे.

$$6x+2y=11+9$$

20 मेळोवंक 11 आनी 9 ची बेरीज करची.

$$6x+2y=20$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 10 वरवीं गुणाकार करच्यो, 5,10 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$-2\times 2x+y-1=-12$$

-4 मेळोवंक -2 आनी 2 गुणचें.

$$-4x+y-1=-12$$

दोनूय वटांनी 1 जोडचे.

$$-4x+y=-12+1$$

-11 मेळोवंक -12 आनी 1 ची बेरीज करची.

$$-4x+y=-11$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$6x+2y=20,-4x+y=-11$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-2\left(-4\right)}&-\frac{2}{6-2\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{6-2\left(-4\right)}&\frac{6}{6-2\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&-\frac{1}{7}\\\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 20-\frac{1}{7}\left(-11\right)\\\frac{2}{7}\times 20+\frac{3}{7}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=3,y=1$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 6 वरवीं गुणाकार करच्यो, 2,3,6 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$3\left(2x-1\right)+2\left(y-3\right)=11$$

2x-1 न 3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$6x-3+2\left(y-3\right)=11$$

y-3 न 2 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$6x-3+2y-6=11$$

-9 मेळोवंक -3 आनी 6 वजा करचे.

$$6x-9+2y=11$$

दोनूय वटांनी 9 जोडचे.

$$6x+2y=11+9$$

20 मेळोवंक 11 आनी 9 ची बेरीज करची.

$$6x+2y=20$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. समीकरणाच्यो दोनूय बाजू 10 वरवीं गुणाकार करच्यो, 5,10 चो सामको सामान्य विभाज्य.

$$-2\times 2x+y-1=-12$$

-4 मेळोवंक -2 आनी 2 गुणचें.

$$-4x+y-1=-12$$

दोनूय वटांनी 1 जोडचे.

$$-4x+y=-12+1$$

-11 मेळोवंक -12 आनी 1 ची बेरीज करची.

$$-4x+y=-11$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$6x+2y=20,-4x+y=-11$$

6x आनी -4x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -4 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 6 न गुणचें.

$$-4\times 6x-4\times 2y=-4\times 20,6\left(-4\right)x+6y=6\left(-11\right)$$

सोंपें करचें.

$$-24x-8y=-80,-24x+6y=-66$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -24x-8y=-80 तल्यान -24x+6y=-66 वजा करचो.

$$-24x+24x-8y-6y=-80+66$$

24x कडेन -24x ची बेरीज करची. अटी -24x आनी 24x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-8y-6y=-80+66$$

-6y कडेन -8y ची बेरीज करची.

$$-14y=-80+66$$

66 कडेन -80 ची बेरीज करची.

$$-14y=-14$$

दोनुय कुशींक -14 न भाग लावचो.

$$y=1$$

-4x+y=-11 त y खातीर 1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-4x+1=-11$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 1 वजा करचें.

$$-4x=-12$$

दोनुय कुशींक -4 न भाग लावचो.

$$x=3$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=3,y=1$$