सोडोवचें {l}{y=kx+b}{x^2/4+y^2=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = k x + b } \\ { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + y ^ { 2 } = 1 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{-2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}$$

$$x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}\text{, }|k|\geq \frac{\sqrt{b^{2}-1}}{2}\text{ or }|b|<1$$

बदली आनी क्वॉड्रेटिक सिध्दांत वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान kx वजा करचें.

$$y-kx=b$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. 4 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक गुणाकार करचो.

$$x^{2}+4y^{2}=4$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$y+\left(-k\right)x=b,x^{2}+4y^{2}=4$$

बरोबर चिन्ना्च्या दोनूय कुशींनी y वगळावंन y खातीर y+\left(-k\right)x=b सोडोवचें.

$$y+\left(-k\right)x=b$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \left(-k\right)x वजा करचें.

$$y=kx+b$$

x^{2}+4y^{2}=4 ह्या दुस-या समिकरणांत y खातीर kx+b बदलपी घेवचो.

$$x^{2}+4\left(kx+b\right)^{2}=4$$

kx+b वर्गमूळ.

$$x^{2}+4\left(k^{2}x^{2}+2bkx+b^{2}\right)=4$$

k^{2}x^{2}+2bkx+b^{2}क 4 फावटी गुणचें.

$$x^{2}+4k^{2}x^{2}+8bkx+4b^{2}=4$$

4k^{2}x^{2} कडेन x^{2} ची बेरीज करची.

$$\left(4k^{2}+1\right)x^{2}+8bkx+4b^{2}=4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4 वजा करचें.

$$\left(4k^{2}+1\right)x^{2}+8bkx+4b^{2}-4=0$$

हें समिकरण प्रमाणित पद्दतीन आसा: ax^{2}+bx+c=0. क्वॉड्रेटिक सिध्दांत \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} त a खातीर 1+4k^{2}, b खातीर 4\times 2kb आनी c खातीर -4+4b^{2} बदली घेवचे.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{\left(8bk\right)^{2}-4\left(4k^{2}+1\right)\left(4b^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

4\times 2kb वर्गमूळ.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{64b^{2}k^{2}-4\left(4k^{2}+1\right)\left(4b^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

1+4k^{2}क -4 फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{64b^{2}k^{2}+\left(-16k^{2}-4\right)\left(4b^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

-4+4b^{2}क -4-16k^{2} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{64b^{2}k^{2}-16\left(b^{2}-1\right)\left(4k^{2}+1\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

-16\left(1+4k^{2}\right)\left(b^{2}-1\right) कडेन 64k^{2}b^{2} ची बेरीज करची.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{16+64k^{2}-16b^{2}}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

-16b^{2}+64k^{2}+16 चें वर्गमूळ घेवचें.

$$x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

1+4k^{2}क 2 फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}$$

जेन्ना ± अदीक आस्ता तेन्ना समिकरण x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2} सोडोवचें. 4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1} कडेन -8kb ची बेरीज करची.

$$x=\frac{-8bk+4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}$$

2+8k^{2} न-8bk+4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1} क भाग लावचो.

$$x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}$$

जेन्ना ± वजा आस्ता तेन्ना समिकरण x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2} सोडोवचें. -8kb तल्यान 4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1} वजा करची.

$$x=\frac{-8bk-4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}$$

2+8k^{2} न-8kb-4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1} क भाग लावचो.

$$x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}$$

x चीं दोन सोडोवणी आसात: \frac{2\left(-2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} आनी -\frac{2\left(2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}}. समिकरणांत y=kx+b त x खातीर \frac{2\left(-2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} बदली घेवचो आनी दोनूय समिकरणांक सोदपी y क अनुरूप सोडोवण सोदची.

$$y=k\times \frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}+b$$

\frac{2\left(-2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}}क k फावटी गुणचें.

$$y=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}k+b$$

आतां y=kx+b समिकरणांत x खातीर -\frac{2\left(2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} बदली घेवचो आनी दोनूय समिकरणांक सोदपी y क अनुरूप सोडोवण सोदची.

$$y=k\left(-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\right)+b$$

-\frac{2\left(2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}}क k फावटी गुणचें.

$$y=\left(-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\right)k+b$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$y=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}k+b,x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{ or }y=\left(-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\right)k+b,x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}$$

x, y खातीर सोडोवचें (जटील सोल्यूशन)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{-2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}\text{; }x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}\text{, }&k\neq -\frac{1}{2}i\text{ and }k\neq \frac{1}{2}i\\x=-\frac{b^{2}-1}{2bk}\text{, }y=\frac{b^{2}+1}{2b}\text{, }&b\neq 0\text{ and }\left(k=-\frac{1}{2}i\text{ or }k=\frac{1}{2}i\right)\end{matrix}\right.$$