सोडोवचें {l}{y=5+x}{5x-2y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 5 + x } \\ { 5 x - 2 y = 2 } \end{array} \right.$$

y, x खातीर सोडोवचें

$$x=4$$

$$y=9$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान x वजा करचें.

$$y-x=5$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$y-x=5,-2y+5x=2$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक y वेगळावन y खातीर तें सोडोवचें.

$$y-x=5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान x ची बेरीज करची.

$$y=x+5$$

-2y+5x=2 ह्या दुस-या समिकरणांत y खातीर x+5 बदलपी घेवचो.

$$-2\left(x+5\right)+5x=2$$

x+5क -2 फावटी गुणचें.

$$-2x-10+5x=2$$

5x कडेन -2x ची बेरीज करची.

$$3x-10=2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 10 ची बेरीज करची.

$$3x=12$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=4$$

y=x+5 त x खातीर 4 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$y=4+5$$

4 कडेन 5 ची बेरीज करची.

$$y=9$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$y=9,x=4$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान x वजा करचें.

$$y-x=5$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$y-x=5,-2y+5x=2$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&5\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{5-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{5-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\times 5+\frac{1}{3}\times 2\\\frac{2}{3}\times 5+\frac{1}{3}\times 2\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां y आनी x काडचीं.

$$y=9,x=4$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान x वजा करचें.

$$y-x=5$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$y-x=5,-2y+5x=2$$

y आनी -2y बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$-2y-2\left(-1\right)x=-2\times 5,-2y+5x=2$$

सोंपें करचें.

$$-2y+2x=-10,-2y+5x=2$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -2y+2x=-10 तल्यान -2y+5x=2 वजा करचो.

$$-2y+2y+2x-5x=-10-2$$

2y कडेन -2y ची बेरीज करची. अटी -2y आनी 2y रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$2x-5x=-10-2$$

-5x कडेन 2x ची बेरीज करची.

$$-3x=-10-2$$

-2 कडेन -10 ची बेरीज करची.

$$-3x=-12$$

दोनुय कुशींक -3 न भाग लावचो.

$$x=4$$

-2y+5x=2 त x खातीर 4 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-2y+5\times 4=2$$

4क 5 फावटी गुणचें.

$$-2y+20=2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 20 वजा करचें.

$$-2y=-18$$

दोनुय कुशींक -2 न भाग लावचो.

$$y=9$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$y=9,x=4$$